我念研究生时的高等概率论课用的是 Durrett 的教材 “Probability: Theory and Examples”。这本书的好处我就不再介绍了，院长陈大岳老师在世图影印版的前言中已经夸了一遍。我个人的体会是，Durrett 的书在讲解证明的时候非常简练，很少写为什么要这样证，我有时候读了半天也没搞明白思路。Birkhoff 遍历定理算是其中一个，于是我重新整理了一下书中的证明，作此文留念。

Birkhoff 遍历定理最初由 Birkhoff 本人在 1931 年发表，原文长达 50 页。随后在 1939 年 K.Yosida （吉田耕作） 和 S.Kakutani （角谷） 利用极大遍历定理给出了一个 10 页的简洁证明，不过他们关于极大遍历定理的证明还是啰嗦了点，后来 Garsia 给出了极大遍历定理的一个仅有寥寥数行的惊人证明，这也是当前大多数教材采用的途径，本文就来介绍这一证明。

准备工作

给定一个概率空间 $(\mathrm{\Omega },\mathcal{F},\mu )$，我们称两个可测集 $A,B\in F$ 几乎处处相等，是指它们的示性函数 ${\mathbb{1}}_A,{\mathbb{1}}_B$ 几乎处处相等，记作 $A\stackrel{\mathrm{a}.\mathrm{e}.}{=}B$。等价的说法是 $A,B$ 只差一个零测集，或者再换一个说法，差集 $A\mathrm{\Delta }B$ 是零测集。

设 $T:\mathrm{\Omega }\to \mathrm{\Omega }$ 是一个可测变换，即对任何 $E\in \mathcal{F}$ 有 $T^{-1}E\in \mathcal{F}$。

在本文中，$T$ 始终代表一个保测变换。

保测变换有如下性质：

证明：若 $E\in \mathcal{F}$ 是可测集，由于 $$\omega \in T^{-1}E\iff T(\omega )\in E\iff ({\mathbb{1}}_E\circ T)(\omega )=1.$$ 所以 ${\mathbb{1}}_E\circ T={\mathbb{1}}_{\{T^{-1}E\}}$，因此 $${\int }_{\mathrm{\Omega }}{\mathbb{1}}_E\mathrm{d}\mu =\mu (E)=\mu (T^{-1}E)={\int }_{\mathrm{\Omega }}{\mathbb{1}}_{\{T^{-1}E\}}\mathrm{d}\mu ={\int }_{\mathrm{\Omega }}{\mathbb{1}}_E\circ T\mathrm{d}\mu .$$ 从而结论对集合的示性函数成立，进一步由积分的线性性质对任何简单函数也成立，再取极限即得对一般的可积函数结论成立。

这是 Durrett 书中的一道习题，我一直觉得它很平凡，其实这个结论还是需要论证一番的。

证明：

$\Rightarrow$：如果 $X$ 关于 $\mathcal{I}$ 可测，则对任何 Borel 集 $B\in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^1)$ 有 $X^{-1}B\in \mathcal{I}$，即 $T^{-1}(X^{-1}B)\stackrel{\mathrm{a}.\mathrm{e}.}{=}{X}^{-1}B$，这说明 $\{X\circ T\in B\}\stackrel{\mathrm{a}.\mathrm{e}.}{=}\{X\in B\}$。特别地取 $B=(-\mathrm{\infty },t)$ 我们得到 $\{X\circ T<t\}\stackrel{\mathrm{a}.\mathrm{e}.}{=}\{X<t\}$。我们来证明如果 $\xi ,\eta$ 是两个可测函数且对任何实数 $t$ 有 $\{\xi <t\}\stackrel{\mathrm{a}.\mathrm{e}.}{=}\{\eta <t\}$，则 $\xi =\eta ,\mathrm{a}.\mathrm{e}.$。然后对 $\xi =X\circ T,\eta =T$ 应用此结论即可。若不然，不妨设 $\{\xi >\eta \}$ 具有正测度，则存在有理数 $c$ 使得集合 $\{\xi >c>\eta \}$ 具有正测度，这个集合在 $\{\eta <c\}$ 中，但是不在 $\{\xi <c\}$ 中，这与 $\{\eta <c\}$ 和 $\{\xi <c\}$ 只差一个零测集矛盾。

$\Leftarrow$：如果 $X\circ T=X$ 几乎处处成立，则对任何 $B\in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^1)$ 有 $X^{-1}B\stackrel{\mathrm{a}.\mathrm{e}.}{=}{T}^{-1}{X}^{-1}B$，这说明 $X^{-1}B\in \mathcal{I}$，即 $X$ 关于 $\mathcal{I}$ 可测。

Birkhoff 遍历定理

设 $f$ 是 $\mathrm{\Omega }$ 上的随机变量，对每个整数 $n\ge 1$，令 $$S_n(\omega )=\sum _{k=0}^{n-1}f(T^k(\omega )).$$ 我们有如下的定理：

证明 Birkhoff 遍历定理定理的关键是证明如下的极大遍历定理：（极大遍历定理这个名字来源于分析中的 Hardy-Littlewood 极大函数，这一类的不等式统称为极大不等式）

极大遍历定理是整个 Birkhoff 遍历定理的证明中最不直观的部分，而且我也确实不知道怎么解释引入它的动机。我第一次看到这个式子的时候是很懵的。一个直观的理解是，观察下面这个显然成立的不等式： $${\int }_{\{M_f>a\}}{M}_f\mathrm{d}\mu \ge a\mu (\{M_f>a\}).$$ 极大遍历定理是说把其中的积分函数换成 $f$，积分范围保持不变的话，不等式仍然成立。

我把极大遍历定理的证明放在最后，先用它来证明 Birkhoff 遍历定理。

Birkhoff 遍历定理的证明

首先可以假定条件期望 $\mathbb{E}[f|\mathcal{I}]=0$，否则我们可以用 $f-\mathbb{E}[f|\mathcal{I}]$ 代替 $f$，注意到 $\mathbb{E}[f|\mathcal{I}]$ 是 $T$- 不变的，所以根据上面的 引理 1.4 有 $$\mathbb{E}[f|\mathcal{I}]\circ T^k=\mathbb{E}[f|\mathcal{I}],\mathrm{a}.\mathrm{e}.$$ 对所有的正整数 $k$ 都成立，这时 Birkhoff 遍历定理 Birkhoff 遍历定理 的左边 $S_n$ 中每一项都会多出来一个 $\mathbb{E}[f|\mathcal{I}]$，除以 $n$ 正好和右边的 $\mathbb{E}[f|\mathcal{I}]$ 抵消掉。

这样问题变成在 $\mathbb{E}[f|\mathcal{I}]=0$ 的前提下证明 $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{S_n}{n}=0.\text{a.e.}$$ 设 $a$ 是任一正数，考虑集合 $$A=\{\omega \mid \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\bar{\lim }}\frac{S_n}{n}>a\}.$$ 我们想证明 $\mu (A)=0$。若真如此，则有 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\bar{\lim }}{S}_n/n\le a$ 几乎处处成立，根据 $a$ 的任意性就得到 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\bar{\lim }}{S}_n/n\le 0$ 几乎处处成立。再把这个结果用在 $-f$ 上就得到 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\underset{―}{\lim }}{S}_n/n\ge 0$ 也几乎处处成立，这样就证明了 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{S}_n/n=0$ 几乎处处成立。（拗口）

为了证明 $\mu (A)=0$，我们希望对函数 $f$ 和集合 $A$ 应用极大不等式： $${\int }_{A}f\mathrm{d}\mu \ge a\mu (A).$$ 这是因为，$A$ 其实是一个 $T$- 不变的集合，即 $A\in \mathcal{I}$，我们会在证明末尾再验证这一点。于是根据条件期望的性质， $${\int }_{A}f\mathrm{d}\mu ={\int }_A\mathbb{E}[f|\mathcal{I}]\mathrm{d}\mu =0.$$ 即 $0\ge a\mu (A)$，结合 $a>0$ 即得 $\mu (A)=0$。

但是，我们能对 $A$ 使用极大不等式吗？请注意 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\bar{\lim }}$ 和 $\underset{n\ge 1}{sup}$ 的区别，它们定义的是两个不同的随机变量。$A$ 是用 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\bar{\lim }}$ 定义的，而极大遍历定理中说的是 $\underset{n\ge 1}{sup}$。注意到 $$A=\{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\bar{\lim }}\frac{S_n}{n}>a\}\subseteq \{\underset{n\ge 1}{sup}\frac{S_n}{n}>a\}=\{M_f>a\},$$ 所以我们只需要证明下面的结论就好了：

引理的证明：对函数 $g=f\cdot {\mathbb{1}}_A$ 应用极大遍历定理： $${\int }_{\{M_g>a\}}f\cdot {\mathbb{1}}_A\mathrm{d}\mu \ge a\mu (\{M_g>a\}).$$ 但是 $M_g=M_f\cdot {\mathbb{1}}_A$，这一点要用到 $A$ 是 $T$- 不变集合这个条件，因此 $$\{M_g>a\}=\{M_f>a\}\cap A=A.$$因此确实有 $${\int }_{A}f\mathrm{d}\mu \ge a\mu (A).$$ 这样就证明了 Birkhoff 遍历定理。

实际上定理中的收敛也是一个依 $L^1$ 范数的收敛，这点的证明相比几乎处处收敛就容易多了，这里不再赘述。

最后我们来补上证明中遗漏的部分，即验证集合 $A=\{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\bar{\lim }}{S}_n/n>a\}$ 确实是 $T$- 不变的：

利用 $S_{n+1}=f+S_n\circ T$ 可得 $$\frac{S_{n+1}}{n+1}=\frac{f}{n+1}+\frac{S_n\circ T}{n}\cdot \frac{n}{n+1}.$$ 对两边同时取上极限，注意由于 $f\in L^1(\mathrm{\Omega })$ 所以 $f$ 几乎处处有限，从而 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}f/(n+1)=0,\text{a.e.}$。所以 $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\bar{\lim }}\frac{S_{n+1}}{n+1}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\bar{\lim }}\frac{S_n\circ T}{n}.$$ 这正说的是 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\bar{\lim }}{S}_n/n$ 是 $T$- 不变的随机变量，从而 $A$ 是 $T$- 不变的集合。

最后来证明极大遍历定理。

极大遍历定理的证明

只要证明 $a=0$ 的情形，然后对一般的 $a$，将结论应用在函数 $f-a$ 上即可。定义 $S_0=0$ 以及 $M_n=max\{S_0,S_1,\cdots ,S_n\}$。对每个 $k=1,\dots ,n$ 有 $$S_k=f+S_{k-1}\circ T\le f+M_n\circ T.$$ 从而 $$\underset{1\le k\le n}{max}{S}_k\le f+M_n\circ T.$$

但是在集合 $\{M_n>0\}$ 上，$M_n$ 作为 $S_0,S_1,\dots ,S_n$ 中的最大者肯定不能来自 $S_0=0$，所以 $M_n=\underset{1\le k\le n}{max}{S}_k$，因此 $$M_n\le f+M_n\circ T,\omega \in \{M_n>0\}.$$ 注意 $M_n$ 总是非负的随机变量，从而 $$\begin{array}{rl}{\int }_{\{M_n>0\}}f& \ge {\int }_{\{M_n>0\}}{M}_n-{\int }_{\{M_n>0\}}{M}_n\circ T\\ & ={\int }_{\mathrm{\Omega }}{M}_n-{\int }_{\{M_n>0\}}{M}_n\circ T\\ & \ge {\int }_{\mathrm{\Omega }}{M}_n-{\int }_{\mathrm{\Omega }}{M}_n\circ T\\ & =0.\end{array}$$ 最后由于 $\{M_n>0\}\uparrow \{M_f>0\}$，所以由控制收敛定理即可得到 $${\int }_{\{M_f>0\}}f\ge 0.$$ 极大遍历定理得证。

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