静电场与 Marden 定理

我昨晚刚完成了一个 shadertoy 小动画，演示平面几何中的 Marden 定理、复分析中的 Gauss-Lucas 定理 和静电场之间的关系：

这个动画的含义如下：

1. 在复平面上三角形 $\mathrm{\Delta }ABC$ 的三个顶点处各自放置一个单位正电荷，则平面上电场强度为 0 的点有两个（这两个点可能重合），它们位于 $\mathrm{\Delta }ABC$ 的内部，并且是三次复多项式 $P(z)=(z-A)(z-B)(z-C)$ 的导数 $P^{\prime }(z)$ 的零点。

2. 不仅如此，这两个零点还是一个内切于 $\mathrm{\Delta }ABC$ 的椭圆的两个焦点，此椭圆是所有内切于 $\mathrm{\Delta }ABC$ 的椭圆中面积最大者，其与 $\mathrm{\Delta }ABC$ 三边的切点均为各边中点。这个椭圆叫做 Steiner 内切椭圆。

这个动画是受几天前 Albert Chern 的 一篇推文 启发所作，John Baez 也写了一篇关于这个话题的 文章。我是由此才了解到 Marden 定理还有如此有趣的物理学解释，的确大开眼界！

在平面上不全共线的 $n$ 个点 $a_1,\dots ,a_n$ 处放置若干单位正电荷，这规定了一个平面上的电势函数 $V(z)$ （标量） 和一个电场 $\mathbf{E}(z)$ （二维向量场）。电学知识告诉我们，在忽略物理常数意义下有 $$V(z)=\sum _{i=1}^n\ln |z-a_i|=\ln \prod _{i=1}^n|z-a_i|=\ln |P(z)|.$$ 其中 $P(z)=(z-a_1)(z-a_2)\cdots (z-a_n)$ 是以 $a_1,\dots ,a_n$ 为根的多项式。

此外 $\mathbf{E}=-\mathrm{\nabla }V$ 为电势的梯度向量取负。

问题：怎样确定平面上场强为 0 的点呢？

场强为 0 的点也叫做平衡点、鞍点，因为在这一点处的电荷不受电场的库仑力。

答案有点出人意料：平衡点必然是 $P^{\prime }(z)$ 的零点，而且这些点都属于 $a_1,\dots ,a_n$ 的凸包！

注意 $V(z)$ 是 $\ln P(z)=\ln |P(z)|+i\arg P(z)$ 的实部，由 Cauchy-Riemann 方程不难看出满足 $\mathrm{\nabla }V=0$ 的点都是 $(\ln P(z){)}^{\prime }=P^{\prime }(z)/P(z)$ 的零点，所以平衡点都是 $P^{\prime }(z)$ 的零点。平衡点属于 $\{a_1,\dots ,a_n\}$ 的凸包是根据 Gauss-Lucas 定理：任何复多项式 $f$ 的导数的零点都属于 $f$ 的零点构成的凸包！

John Baez 的文章中利用凸集分离定理给出了 Gauss-Lucas 定理的一个简洁证明。

需要注意的是，反过来 $P^{\prime }(z)$ 的零点未必都是电场的平衡点，当 $P(z)$ 有重根时，重根是 $P^{\prime }(z)$ 的零点但不是 $P^{\prime }(z)/P(z)$ 的零点，所以不是平衡点。

平衡点是鞍点 (saddle point) 是由于 $V(z)$ 的调和性质，其不存在局部的极大极小值，所以使得 $\mathrm{\nabla }V=0$ 的点都是鞍点。

在三个点电荷 $A,B,C$ 的情形，平衡点有两个，它们位于 $\mathrm{\Delta }ABC$ 的内部，且是多项式 $P(z)=(z-A)(z-B)(z-C)$ 的导数 $P^{\prime }(z)$ 的零点。那关于这两个点的具体位置我们可以说什么吗？这就是优美的 Marden 定理，要表述这个定理，我们需要先介绍 Steiner 内切椭圆的概念：

Marden 定理断言 $P^{\prime }(z)$ 的两个根正是 Steiner 内切椭圆的两个焦点：

Steiner inellipse 和 Marden 定理的证明并不复杂，美国数学月刊上出现过两篇介绍其证明的文章，都非常值得一读：

1. Triangles, Ellipses, and Cubic Polynomials.

2. An Elementary Proof of Marden’s Theorem.

其中第一篇文章采用了复数和仿射变换的途径，第二篇使用了椭圆的光学性质。

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