遛狗中的数学：曲线的环绕数、Rouché 定理和开映射定理
我写了一个 shadertoy 小动画，演示 (Needham 1997) 书中第 7 章 “Winding numbers and topology” 中的结论：
一个人和他的狗在公园里绕着一棵树散步，人和狗各自走的路径都是闭曲线，即经过一段时间后都会回到起点。如果人把狗绳抓的紧一些，使得整个过程中狗无法接触到树，则结束后人和狗绕着树走的圈数是一样的，这就是下面这个动画演示的：（树的位置是原点，用一个表盘标记）
对应的数学结论是：两条闭曲线 \(\gamma_1,\gamma_2\) 如果都不经过原点，且 \(\gamma_1\) 可以在不碰触到原点的前提下通过连续的形变变为 \(\gamma_2\)（同伦），则 \(\gamma_1,\gamma_2\) 关于原点的环绕数相等。
注意这个结论只要求 \(\gamma_1,\gamma_2\colon\ [0,1]\to\mathbb{R}^2\) 是两条连续曲线，并不涉及解析性。因为环绕数和同伦都是拓扑概念，只涉及连续性。
当 \(\gamma_1=f(S^1),\gamma_2=g(S^1)\) 分别是单位圆 \(S^1\colon\ \{z\in\mathbb{C}:|z|=1\}\) 在两个解析函数 \(f,g\) 下的像时，幅角原理 告诉我们 \(\gamma_1,\gamma_2\) 关于原点的环绕数分别等于 \(f,g\) 在 \(S^1\) 内部的零点个数。进一步 Rouché 定理 告诉我们，如果对任何 \(z\in S^1\) 都有 \(|f(z)|>|f(z)-g(z)|\) 成立，即可保证 \(\gamma_1,\gamma_2\) 关于原点有相同的环绕数，从而 \(f,g\) 在 \(S^1\) 内部的零点个数也是相同的。Rouché 定理的条件说的就是，假设人的位置是 \(f(z)\)，狗的位置是 \(g(z)\)，绳子 \(l(z)=f(z)-g(z)\) 的长度 \(|l(z)|\) 始终小于人到原点的距离 \(|f(z)|\)，就可以保证狗始终够不到原点。
动画中左下角的圆周是 \(S^1\)，动画右边红、绿两条路径分别是 \(f(S^1)\) 和 \(g(S^1)\)。这里的 \(f\) 我取的形如 \[f(z) =\frac{z-a}{1-\overline{a}z}\frac{z-b}{1-\overline{b}z}\frac{z-c}{1-\overline{c}z} (z-2-2i),\quad |a|,|b|,|c|<1.\] \(f(z)\) 在 \(S^1\) 的内部有 3 个根 （我用红点标出来了），在 \(S^1\) 上不为 0，在 \(S^1\) 外部有一个根（图中没有画）。\(f(z)\) 的前三个因子构成一个 Blaschke 乘积，它把 \(S^1\) 的内部仍然映射为内部，把 \(S^1\) 仍然映射为 \(S^1\)，于是对任何 \(z\in S^1\) 有 \[|f(z)| = |z - 2 - 2i| \geq 2\sqrt{2} - 1,\quad z\in S^1.\] 所以只要绳子 \(l(z)\) 满足 \(|l(S^1)| < 2\sqrt{2}-1\)，则狗走的路径 \(g(S^1)=f(S^1)+l(S^1)\) 就不可能接触到原点。我这里取了 \(l(z) = cz\)，其中 \(c\) 是一个小于 \(2\sqrt{2}-1\) 的正实数。
Needham 的书中还介绍了曲线 \(\gamma\) 的环绕数在 \(\mathbb{C}\setminus\gamma\) 的每个连通分支上都是常数。对不在 \(\gamma\) 上的一点 \(z\)，我们可以稍稍移动 \(z\) 到另一个点 \(z'\)，只要保持 \(z'\) 仍然位于 \(z\) 所在的连通分支内，\(\gamma\) 关于 \(z\) 和 \(z'\) 的环绕数就一定相同。利用这个事实并结合幅角原理不难得出下面的结论：
推论. 设 \(\gamma\) 是一条简单闭曲线，内部围的区域为 \(\Omega\)，\(f(z)\) 是一个非常数的解析函数，\(f\) 在包含 \(\gamma\) 的某个区域内解析。假设有两棵树分别位于 \(w_0,\,w_1\) 两点，且人行走的路线 \(f(\gamma)\) 到 \(w_0\) 的距离始终大于两棵树之间的距离： \[|f(z)-w_0| > |w_0-w_1|,\quad\forall z\in\gamma.\]
则 \(f(\gamma)\) 关于 \(w_0,w_1\) 的环绕数相等，从而 \(w_0,w_1\) 在 \(\gamma\) 内部的原像个数相同： \[\sharp\{z\in \Omega: f(z)=w_0\} = \sharp\{z\in \Omega: f(z)=w_1\}.\]
证明：这是因为根据条件，从 \(w_0\) 沿着线段 \([w_0,w_1]\) 移动到 \(w_1\) 的过程中始终不会碰触到曲线 \(f(\gamma)\)，所以 \(w_0,w_1\) 必然位于同一连通分支内。\(\blacksquare\)
利用此推论我们不难得出复分析中的 开映射定理：
定理. 如果 \(U\subseteq\mathbb{C}\) 是开集，\(f\colon\ U\to\mathbb{C}\) 是非常数的解析函数，则 \(f(U)\) 也是开集。
证明：任取 \(z_0\in U\)，记 \(w_0=f(z_0)\)。由于 \(f\) 不是常数，所以 \(f(z)-w_0\) 的零点都是孤立的。我们可以取 \(z_0\) 的一个充分小的闭圆盘 \(B_\delta=\{z\in U\mid |z-z_0|\leq\delta\}\) 使得 \(f(z)-w_0\) 在 \(B_\delta\) 中除了 \(z_0\) 以外没有其它零点。特别地，\(f(z)-w_0\) 在 \(B_\delta\) 的边界 \(\gamma =\{|z-z_0|=\delta\}\) 上恒不为 0，从而 \(|f(z)-w_0|\) 在 \(\gamma\) 上有正的极小值 \(e\)，即对任何 \(z\in\gamma\) 有 \(|f(z)-w_0|\geq e\)。
现在我们考虑 \(w_0\) 的邻域 \(V_e=\{|w-w_0|<e\}\)。则任何 \(w_1\in V_e\) 都满足 推论 中的条件：
\[|f(z)- w_0| \geq e > |w_1-w_0|,\quad z\in \gamma.\]
所以 \(w_1\) 在 \(\gamma\) 内部至少有一个原像。由 \(w_1\) 的任意性可得 \(V_e\subset f(U)\) 是 \(w_0\) 在 \(f(U)\) 中的开邻域，从而 \(f(U)\) 是开集。\(\blacksquare\)