本文的内容主要来自 (Maxwell 1982) 和 (Maxwell 1989)，并修复了一些错误。Maxwell 在 (Maxwell 1982, pp 81) 中写到：

这显然是错误的，因为如果 \(u\) 是 light-like 的向量，\(u\) 和 \(-u\) 属于不同的分支。这个错误导致后面 (Maxwell 1982, prop 3.1) 的证明需要作一些修改。详情见下面的 定理 5.5。

射影模型

在这一节中，我们约定 \(V=\mathbb{R}^{n+1,1}\) 是 \(n+2\) 维的 Lorentzian 空间，\(\{e_1,e_2,\ldots,e_{n+2}\}\) 是 \(V\) 的一组标准正交基，即在这组基下内积的 Gram 矩阵为 \(\left(\begin{smallmatrix}I_{n+1} &\\ & -1\end{smallmatrix}\right)\)。令 \[e_0=\frac{e_{n+2}-e_{n+1}}{2},\quad e_\infty=\frac{e_{n+2}+e_{n+1}}{2}.\] 则 \(\{e_0,e_1,\ldots,e_n,e_\infty\}\) 也构成 \(V\) 的一组基，内积在这组基下的 Gram 矩阵为 \[\begin{pmatrix}0&&&-\frac{1}{2}\\&I_n&&\\-\frac{1}{2}&&&0\end{pmatrix}.\] 任何两个向量 \(v,w\in V\) 可以写成如下的形式： \[\begin{aligned} v&=ae_0 + \mathbf{x}+ be_\infty,\\ w&=ce_0 + \mathbf{y}+ de_\infty. \end{aligned}\] 其中 \(\mathbf{x},\mathbf{y}\in\mathrm{span}\{e_1,\ldots,e_n\},\,a,b\in\mathbb{R}\)。则 \(v,w\) 之间的内积为 \[(v,w) = (\mathbf{x}, \mathbf{y}) - \frac{ad+bc}{2}.\] 使用 \(\{e_0,e_1,\ldots,e_n,e_\infty\}\) 这组基在处理 \(\mathbb{R}^n\) 中的球时更方便一些。

设 \(v\in\mathbb{R}^{n+1,1}\)，我们约定用 \([v]\) 表示 \(v\) 在射影空间 \(\mathrm{P}(\mathbb{R}^{n+1,1})\) 中的等价类。

熟知 \(\overline{\mathbb{R}^n}=\mathbb{R}^n\cup\{\infty\}\) 和 \(\mathbb{R}^{n+1}\) 中的单位球 \(S^n=\{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_{n+1}^2=1\}\) 在球极投影下是一一对应的（北极点为 \(e_{n+1}\)）。

我们来说明它们分别和 \(\mathrm{P}(\mathbb{L}^{n+1})\) 是一一对应的，并且当 \(\mathbf{x}\in\overline{\mathbb{R}^n}\) 和 \(\mathbf{y}\in S^n\) 在球极投影下对应时，它们在 \(\mathrm{P}(\mathbb{L}^{n+1})\) 中是同一个点。

设 \(\mathbf{y}=y_1e_1+\cdots+y_{n+1}e_{n+1}\in S^n\)，\(\mathbf{y}\) 在以 \(e_{n+1}\) 为北极的球极投影下对应的点是 \[\mathbf{x}=\begin{cases} \sum\limits_{i=1}^n\dfrac{y_i}{1-y_{n+1}}e_i & y_{n+1}\ne1,\\ \infty & y_{n+1}=1. \end{cases} \] 我们来验证 \(\jmath(\mathbf{y})=\imath(\mathbf{x})\)，即 \[[\mathbf{y}+ e_{n+2}] = \begin{cases}[e_0 + \mathbf{x}+ |\mathbf{x}|^2e_\infty] & y_{n+1}\ne1\\ [e_\infty] & y_{n+1}=1. \end{cases}.\]

• \(y_{n+1}=1\) 时 \(\mathbf{y}=e_{n+1}\) 从而 \(\mathbf{y}+e_{n+2}= e_{n+1}+e_{n+2}=2e_\infty\)，显然与 \(e_\infty\) 射影等价。

• \(y_{n+1}\ne 1\) 时，由 \(\mathbf{y}\in S^n\) 可得 \(\sum_{i=1}^ny_i^2=1-y_{n+1}^2\)，从而 \[|\mathbf{x}|^2=\frac{\sum_{i=1}^n y_i^2}{(1-y_{n+1})^2}= \frac{1+y_{n+1}}{1-y_{n+1}}.\] 把 \(\mathbf{y}+e_{n+2}\) 转化为 \(\{e_0,e_1,\ldots,e_n,e_\infty\}\) 这组基下的表示： \[\mathbf{y}+e_{n+2} = (1-y_{n+1})e_0+\sum_{i=1}^ny_ie_i + (1+y_{n+1})e_\infty.\] 从而 \[[\mathbf{y}+e_{n+2}] = \left[e_0+\sum_{i=1}^n\frac{y_i}{1-y_{n+1}}e_i +\frac{1+y_{n+1}}{1-y_{n+1}}e_\infty\right] = [e_0 + \mathbf{x}+ |\mathbf{x}|^2e_\infty].\]

球面

记 \(\mathcal{S}=\{v\in\mathbb{R}^{n+1,1}\mid( v,v)=1\}\) 是所有 space-like 单位向量组成的集合。我们来建立 \(\mathbb{R}^n\) 中的球（包括超平面）和 \(\mathcal{S}\) 之间的一一对应。

设 \(B(\mathbf{a},r)=\{\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n\mid |x-\mathbf{a}|=|r|\}\) 是 \(\mathbb{R}^n\) 中以 \(\mathbf{a}\) 为中心，半径为 \(r\ne 0\) 的球，它将 \(\mathbb{R}^n\) 分成两个连通分支，一个有界，另一个无界。我们允许 \(r\) 是负数以区分 \(B\) 的内部和外部：\(r>0\) 时 \(B\) 的内部是满足 \(|\mathbf{x}-\mathbf{a}|< r\) 的有界分支；\(r<0\) 时 \(B\) 的内部是满足 \(|\mathbf{x}-\mathbf{a}|>|r|\) 的无界分支。

把 \(\mathbf{a}\) 看作 \(\mathrm{span}\{e_1,\ldots,e_n\}\cong\mathbb{R}^n\) 中的点，记 \[k = \frac{e_0 + \mathbf{a}+ (|\mathbf{a}|^2 - r^2)e_\infty}{r}.\] 不难验证 \((k,k)=1\)，所以 \(k\in\mathcal{S}\)。

对 \(\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n\)，\(\imath(\mathbf{x})=e_0+\mathbf{x}+|\mathbf{x}|^2e_\infty\in\mathbb{L}^{n+1}\)，则 \[(\imath(\mathbf{x}),k)=\frac{r^2-|\mathbf{x}-\mathbf{a}|^2}{2r}.\]

于是 \(\mathbf{x}\in B\) 当且仅当 \((\imath(\mathbf{x}),k)=0\)，以及 \(\mathbf{x}\) 落在 \(B\) 的内部当且仅当 \((\imath(\mathbf{x}),k)>0\)。鉴于此，我们也把 \(B\) 的内部叫做 \(B\) 的正半空间，\(k\) 是指向 \(B\) 的正半空间的单位法向量。

注意到 \(\imath(\mathbf{x})\) 和 \(\jmath(\mathbf{x})\) 只差一个正的倍数，所以 \(\mathbf{x}\in B\) 等价于 \((\jmath(\mathbf{x}),k)=0\)。\(V\) 中所有形如 \((\jmath(\mathbf{x}),k)=0\,(\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n)\) 的点构成 \(S^n_1\) 与超平面 \(k^\bot\) 的截线。

设 \(H(\mathbf{n},d)=\{\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n\mid (\mathbf{x},\mathbf{n})=d\}\) 是超平面，\(\mathbf{n}\) 是 \(B\) 的单位法向量。我们将 \(H(\mathbf{n},d)\) 对应到 \[k=\mathbf{n}+ 2d e_\infty.\] 不难验证同样有 \(k\in\mathcal{S}\)，并且对 \(\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n\) 有 \[(\imath(\mathbf{x}),k)=(\mathbf{x},\mathbf{n})-d.\] 于是 \(\mathbf{x}\in B\) 当且仅当 \((\imath(\mathbf{x}),k)=0\)，\(\mathbf{x}\) 属于 \(B\) 的正半空间当且仅当 \((\imath(\mathbf{x}),k)>0\)。

反之任何 \(k\in\mathcal{S}\) 也都唯一确定了 \(\mathbb{R}^n\) 中的某个球或者超平面。为此只要将 \(k\) 表示为 \[k=be_\infty+\mathbf{a}+ce_\infty\in\mathcal{S},\quad b,c\in\mathbb{R}.\] 并根据 \(b\) 是否等于 0 将 \(k\) 对应为球 \(B(\mathbf{a}/b ,1/b)\) 或者超平面 \(H(\mathbf{a}, c/2)\) 即可。

球面的 seperation

设 \(B_1(\mathbf{a}_1,r_1),\,B_2(\mathbf{a}_2,r_2)\) 是两个球，它们对应的 \(\mathcal{S}\) 中向量分别是 \[\begin{aligned} k_1&=\frac{1}{r_1}e_0 + \frac{\mathbf{a}_1}{r_1} + \frac{|\mathbf{a}_1|^2-r_1^2}{r_1}e_\infty,\\ k_2&=\frac{1}{r_2}e_0 + \frac{\mathbf{a}_2}{r_2} + \frac{|\mathbf{a}_2|^2-r_2^2}{r_2}e_\infty.\\ \end{aligned}.\] 不难验证有 \[(k_1,k_2)=\frac{r_1^2+r_2^2 - |\mathbf{a}_1-\mathbf{a}_2|^2}{2r_1r_2}.\] 我们称内积 \((k_1,k_2)\) 为 \(B_1\) 和 \(B_2\) 的 seperation。

1. \(B_1\) 和 \(B_2\) 相交或者相切当且仅当 \(|(k_1,k_2)|\leq1\)，这时 \((k_1,k_2)=\cos\theta\)，\(\theta\) 是两个球面交点处的内法向量夹角（用外法向量也可以，因为同时将内法向量变成外法向量，夹角的余弦不变）。当 \((k_1,k_2)=-1\) 时两球外切，\((k_1,k_2)=1\) 时两球内切。
2. \(B_1\) 和 \(B_2\) 不相交也不相切当且仅当 \(|(k_1,k_2)|>1\)，这时 \(|(k_1,k_2)|=\cosh\eta\)，\(\eta\) 是 \(k_1,k_2\) 对应的双曲空间中测地线的双曲距离。两球在 \((k_1,k_2)<-1\) 时没有公共的内部，在 \((k_1,k_2)>1\) 时一个完全包含另一个。

\((k_1,k_2)=\cos\theta(\ell_1,\ell_2)\)	\((k_1,k_2)=\cosh d(\ell_1,\ell_2)\)
\((k_1,k_2)=-\cosh d(\ell_1,\ell_2)\)	\((k_1,k_2)=-\cosh d(\ell_1,\ell_2)\)

上面的结论同样适用于 \(B_1\) 和 \(B_2\) 一个是球面，另一个是超平面的情形。例如设 \(B_1\) 是球面，\(B_2\) 是超平面，\(k_2=\mathbf{n}+2de_\infty\)，则 \[(k_1,k_2)=\frac{(\mathbf{a}_1,\mathbf{n})-d}{r_1}.\] 如果 \(B_1,B_2\) 相交，则 \((k_1,k_2)\) 等于 \(B_1\) 在交点处的内法向量和 \(B_2\) 的法向量 \(\mathbf{n}\) 夹角的余弦；否则它是 \(B_1\) 的球心到 \(B_2\) 的有向距离除以 \(r_1\)。

类似地当 \(B_1,B_2\) 都是超平面时，\((k_1,k_2)=(\mathbf{n}_1,\mathbf{n}_2)\) 是它们法向量夹角的余弦。

证明：\(B_1\) 和 \(B_2\) 内部不相交有如下几种可能：

1. \(B_1,B_2\) 都是球，半径 \(r_1,r_2\) 都大于 0，并且 \(r_1+r_2 \geq |\mathbf{a}_1-\mathbf{a}_2|\)。
2. \(B_1,B_2\) 都是球，半径 \(r_1>0,\, r_2<0\)，且 \(B_1\) 位于 \(B_2\) 另一侧的有界区域，即 \(-r_2-r_1\geq |\mathbf{a}_1-\mathbf{a}_2|\)。
3. \(B_1\) 是球，其半径 \(r_1>0\)；\(B_2\) 是超平面，且 \(B_1\) 位于 \(B_2\) 的负半空间，从而其球心 \(\mathbf{a}_1\) 到 \((\mathbf{n},\mathbf{x})=d\) 的有向距离 \(\leq-r_1\)，即 \((\mathbf{a}_1,\mathbf{n})-d\leq -r_1\)。
4. \(B_1,B_2\) 是互相平行的超平面，且法向量相反的，即 \((\mathbf{n}_1,\mathbf{n}_2)=-1\)。

不难验证这些都可以推出 \((k_1,k_2)\leq-1\)。\(\blacksquare\)

球的反演

\(\tau\) 是 \(\overline{\mathbb{R}^n}\) 中关于球面镜 \(B\) 的反射，它保持 \(B\) 的表面不动，将 \(B\) 的内部映射为外部（反之亦然），并且 \(\tau^2=1\)。

我们来说明 \(\tau\) 可以实现为 \(\mathrm{P}(\mathbb{R}^{n+1,1})\) 中的射影正交变换。

设 \(B(\mathbf{a},r)\) 对应 \(k\in\mathcal{S}\)，考察以 \(k\) 为法向量的镜面反射 \[\begin{aligned} \rho\colon\ \mathbb{R}^{n+1,1}&\mapsto\mathbb{R}^{n+1,1}\\ \rho(v) &= v - 2(v,k)k. \end{aligned}\] 则 \(\rho\) 是 \(\mathbb{R}^{n+1,1}\) 上的正交变换，从而也给出 \(\mathrm{P}(\mathbb{R}^{n+1,1})\) 上的射影变换。

我们来计算 \(\rho\) 作用在 \(\imath(\mathbf{x})\,(\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n)\) 上的效果：（注意 \((\imath(\mathbf{x}),k)=\frac{r^2-|\mathbf{x}-\mathbf{a}|^2}{r}\)） \[\begin{align*} \begin{pmatrix}1\\\mathbf{x}\\ |\mathbf{x}|^2\end{pmatrix} &\xrightarrow{\rho} \begin{pmatrix}1\\\mathbf{x}\\ |\mathbf{x}|^2\end{pmatrix} -\frac{r^2-|\mathbf{x}-\mathbf{a}|^2}{r}\begin{pmatrix}\frac{1}{r}\\\frac{\mathbf{a}}{r}\\ \frac{|\mathbf{a}|-r^2}{r}\end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix}\frac{|\mathbf{x}-\mathbf{a}|^2}{r^2}\\\mathbf{x}+\left(\frac{|\mathbf{x}-\mathbf{a}|^2-r^2}{r^2}\right)\mathbf{a}\\ \ast \end{pmatrix}\\ &\sim \begin{pmatrix}1\\\mathbf{a}+\frac{r^2}{|\mathbf{x}-\mathbf{a}|^2}(\mathbf{x}-\mathbf{a})\\ \ast \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix}1\\\tau(\mathbf{x})\\ |\tau(\mathbf{x})|^2 \end{pmatrix}. \end{align*}\] 这里我们不用关心 \(\ast\) 是什么，中间的 \(\sim\) 表示两个向量射影等价。即我们有如下的交换图：

\[\require{amsCd} \begin{CD} \overline{\mathbb{R}^n}@>{\imath}>> \mathrm{P}(\mathbb{L}^{n+1})\\ @V{\tau}VV @VV{\rho}V \\ \overline{\mathbb{R}^n}@>{\imath}>> \mathrm{P}(\mathbb{L}^{n+1}) \end{CD}\]

进一步，将任意球 \(B'\) 关于 \(B\) 作反演也可以通过 \(\rho\) 来计算。设 \(k'\) 是 \(B'\) 对应的 space-like 的单位向量，则 \(\rho(k')\) 也是 space-like 的单位向量，从而 \(\rho(k')\) 对应某个球 \(B''\)。根据上面的交换图有 \(\rho\imath=\imath\tau\)，于是 \[\mathbf{x}\in B'\Leftrightarrow (\imath(\mathbf{x}), k')=0 \Leftrightarrow(\rho\imath(\mathbf{x}), \rho(k'))=0 \Leftrightarrow(\imath\tau(\mathbf{x}), \rho(k'))=0 \Leftrightarrow \tau(\mathbf{x})\in B''. \] 即关于 \(B\) 的反演 \(\tau\) 将 \(B'\) 映射为 \(B''\)。

双曲球堆

形如 \(\mathcal{P}=\{k,-k\}\) 的球堆是平凡的，因为它由一个球的内部和外部组成。否则就称 \(\mathcal{P}\) 是非平凡的。\(-\mathcal{P}=\{-k\mid k\in\mathcal{P}\}\) 也是球堆，它是通过翻转 \(\mathcal{P}\) 中每个球的内部和外部得到的。

记 \(\mathcal{H}\) 是超平面 \((\cdot, e_{n+2})=1\) 与 \(\mathcal{Q}_+\) 的截面，对给定的 \(k\in S\)，定义球帽 \[C_k = \{v\in\mathcal{H}\mid (v,k)\geq0\}.\]

证明：设 \(u\in C_{k_1}\cap C_{k_2}\)，\(v\in C_{-k_1}\cap C_{-k_2}\)，则 \[(u, k_1+k_2)\geq0\text{ and }(v,k_1+k_2)\leq0.\] 由于 \((k_1+k_2,k_1+k_2)=2+2(k_1,k_2)\leq0\)，所以 \(k_1+k_2\) 是 time/light-like 的。 如果上面两个不等号都是严格成立的，则 \(v\sim k_1+k_2\) 且 \(u\not\sim k_1+k_2\)，这与 \(u\sim v\) 矛盾。所以两个不等式至少有一个等号是成立的，即 \(u,v\) 之中必有一个与 \(k_1+k_2\) 共线，并且 \(k_1+k_2\) 是 light-like 的向量，由此可得 \((k_1,k_2)=-1\)。

然而 \(\mathcal{H}\) 中与 \(k_1+k_2\) 共线的点是唯一确定的，所以 \(C_{k_1}\cap C_{k_2}\) 和 \(C_{-k_1}\cap C_{-k_2}\) 中必有一个至多包含一个点，且此点与 \(k_1+k_2\) 共线。\(\blacksquare\)

证明： 设 \(u,v\in C_{k_1}\cap C_{k_2}\) 是两个不同点，则 \(u\sim v\) 且 \(u,v\) 线性无关，从而 \((u,v)<0\)。\(z=u+v\) 满足 \(z\sim u\) 和 \((z,z)<0\)，从而 \(z\) 的某个正倍数 \(z'\) 属于 \(\mathcal{H}\)。\(z'\) 即为所求。 \(\blacksquare\)

证明：记 \(a=(v,k_2)>0\)，考虑向量 \(u=v-tk_2\)，其中 \(t\in(0, a)\) 是实数。

由于 \((u,u)=(v,v)+t^2-2at<0\) 是 time-like 的，以及 \((u,v)=(v,v)-at<0\)，所以 \(u\sim v\)。从而 \(u\) 的某个正倍数 \(u'=cu\,(c>0)\) 属于 \(\mathcal{H}\)。由于

\[\begin{aligned} (u,k_1)&=\overbrace{(v,k_1)}^{\geq0} - \overbrace{t}^{>0}\cdot\overbrace{(k_1,k_2)}^{\leq-1}>0,\\ (u,k_2)&=a-t>0.\end{aligned}\] 所以 \((u',k_1)>0,\,(u',k_2)>0\)，从而 \(u'\in C_{k_1}\cap C_{k_2}\)。由于 \(t\in(0,a)\) 有无穷多个取值，并且不难验证不同的 \(t\) 给出的 \(u'\) 互不相同，所以 \(|C_{k_1}\cap C_{k_2}|=\infty>1\)。\(\blacksquare\)

证明：

1 \(\Rightarrow\) 2：根据 引理 5.2，不妨设 \(k_1,k_2\in\mathcal{P}\) 使得 \(C_{k_1}\cap C_{k_2}\) 至多包含一个点。我们来证明任何两个球帽 \(k\ne k'\in\mathcal{P}\) 之间至多只有一个公共点。不妨设 \(k\notin\{k_1,k_2\}\)。用反证法，若 \(|C_k\cap C_{k'}|>1\)，我们来说明这时同样也有 \(|C_{-k}\cap C_{-k'}|>1\)，从而与 引理 5.2 矛盾。

根据 引理 5.3，存在 time-like 的向量 \(v\in C_k\cap C_{k'}\)。我们来找 \(w\sim v\) 满足 \((w, k)<0\) 和 \((w,k')\leq0\)，这样的话 \(w\) 的某个正倍数 \(w'\in\mathcal{H}\) 并且 \((w',-k)>0,\,(w',-k')\geq0\)，根据 引理 5.4 即得 \(|C_{-k}\cap C_{-k'}|>1\)。

\(w\) 的构造很容易，\(w=k_1-(k_1,k_2)k_2\) 就满足要求。不难验证 \((w, k)<0\) 和 \((w,k')\leq0\)。麻烦的地方在于证明 \(w\sim v\)。由于 \(v\) 是 time-like 的，所以只要 \((v,w)\leq0\) 即可保证 \(w\sim v\)（实际上严格的不等号成立）。我们有 \[(v,w)=(v,k_1)-(k_1,k_2)(v,k_2)=(v-(v,k_2)k_2, k_1).\] 记 \(u=v-(v, k_2)k_2\)，则目标变为证明 \((u,k_1)\leq0\)。注意到

\[\begin{aligned} (u,k_2) &= (v,k_2) - (v,k_2)(k_2,k_2)=0,\\ (u,u)&=(u,v),\\ (u,u)&=\underbrace{(v,v)}_{<0}-\underbrace{(v,k_2)^2}_{\leq0} <0. \end{aligned} \] 即 \((u,u)=(u,v)<0\)，从而 \(u\sim v\)。于是 \(u\) 的某个正倍数 \(u'\) 属于 \(\mathcal{H}\)。如果 \((u,k_1)>0\) 的话由 引理 5.4 可得 \(|C_{k_1}\cap C_{k_2}|>1\)，矛盾。从而 \((v,w)\leq0\)。这就证明了 \(w\sim v\)。

2 \(\Rightarrow\) 1: 不妨设 \(\mathcal{P}\) 中任何两个球帽至多只有一个交点。则对任何 \(k_1,k_2\in\mathcal{P}\)，内积 \((\cdot,\cdot)\) 限制在二维子空间 \(U=\mathrm{span}\{k_1,k_2\}\) 上肯定不是正定的，否则的话 \(U^\bot=k_1^\bot\cap k_2^\bot\) 是 time-like 的，从而 \(C_{k_1}\) 和 \(C_{k_2}\) 会在 \(\mathcal{H}\) 的内部有交点，所以 \(|(k_1,k_2)|\geq1\)。如果 \((k_1,k_2)\geq1\)，则 \(C_{k_1}\cap C_{-k_2}\) 和 \(C_{-k_1}\cap C_{k_2}\) 中必有一个至多只包含一个点，不妨设 \(|C_{k_1}\cap C_{-k_2}|\leq1\)。但是根据已知 \(C_{k_1}\cap C_{k_2}\) 也至多只包含一个点，从而 \(C_{k_1}\) 作为二者的并至多只有一个点，矛盾。\(\blacksquare\)

证明：只要证明 \(\overline{\mathcal{C}_r}\) 包含那些非实的基本权 \((\omega_s, \omega_s)\leq 0\) 即可。若如此，则 \(\overline{\mathcal{C}_r}\) 包含全部基本权 \(\Delta^\ast\)，从而也包含 \(\mathrm{cone}(\Delta^\ast)=\overline{\mathcal{D}}\)，再结合 \(\overline{\mathcal{C}_r}\) 是 \(W\)- 不变的，即得 \(\overline{\mathcal{C}_r}\) 包含 \(\bigcup\limits_{w\in W}w\overline{\mathcal{D}}=\mathcal{C}\)，从而包含 \(\overline{ \mathcal{C} }\)。

设 \(\omega_s\) 是任一非实的基本权，记 \(I=S-\{s\}\)，\(W_I\) 为标准椭圆子群。

\((\omega_s,\omega_s)<0\) 的情形比较容易，这时 \(\omega_s\) 是 time-like 的，其正交补 \(V_I=\mathrm{span}\{\alpha_t\mid t\ne s\}\) 是 space-like 的，从而 \(W_I\) 是有限群。任取一个实的基本权 \((\omega_t,\omega_t)>0\,(t\in I)\) 并考虑 \[v = \sum_{w\in W_I}w(\omega_t),\] 显然 \(v\in\overline{\mathcal{C}_r}\)，并且 \(W_I\) 保持 \(v\) 不动。特别地对任何 \(t\in I\) 都有 \(t(v)=v\)。这是 \(n-1\) 个独立的线性约束，其解空间是一维的，所以 \(v\) 和 \(\omega_s\) 共线：存在 \(a\in\mathbb{R}\) 使得 \(v=a\omega_k\)。两边同时与 \(\alpha_s\) 作内积得到 \[a = (\alpha_s,v)=\sum_{w\in W_I}(\alpha_s,w(\omega_t))=\sum_{w\in W_I}(w^{-1}(\alpha_s), \omega_t)=\sum_{w\in W_I}(w(\alpha_s), \omega_t).\] 对任何 \(w\in W_I\)，\(w\alpha_s=\alpha_s+\sum_{i\in I}c_i\alpha_i\) 仍然是正根，所有的系数 \(c_i\) 都非负。所以上式右边的每一项 \[(w(\alpha_s), \omega_t)=\sum_{i\in I}c_i(\alpha_i, w_t) = c_t\geq0.\] 我们来选择一个特殊的 \(w\in W_I\) 使得 \(c_t>0\)：由于 \(\Gamma\) 是连通的，所以 \(\Gamma\) 中存在一条从 \(s\) 到 \(t\) 的路径 \(s\sim s_1\sim\cdots\sim s_m=t\)，其中每个 \(s_i\,(i\geq1)\in I\) 且互不相同。不难验证对 \(w=s_m\cdots s_1\in W_I\)，\(w\alpha_s\) 的系数 \(c_t>0\)，所以 \(a\) 严格大于 0，所以 \(\omega_s=v/a\in\overline{\mathcal{C}_r}\)。

\((\omega_s, \omega_s)=0\) 的情形稍微麻烦一些：这时 \(\omega_s\) 的正交补 \(\omega_s^\bot\) 是 light-like 的，即子图 \(\Gamma\setminus\{s\}\) 是仿射的。特别地，\(\Gamma\setminus\{s\}\) 由一些仿射或者有限的连通成分组成，并且有且恰有一个连通成分是仿射的（否则两个线性无关的 light-like 的向量的组合会给出 time-like 的向量）。任取一个实的基本权 \((\omega_t,\omega_t)>0\)，我们需要讨论两种情况：

1. 如果 \(\omega_t\) 属于某个有限型的连通成分 \(Y\)，类似上面的讨论，\(v = \sum_{w\in W_Y}w(\omega_t)\in\overline{\mathcal{C}_r}\) 满足对任何 \(t\ne s\) 都有 \(t(v)=v\)，从而 \(v\) 等于 \(\omega_s\) 乘以一个正实数，从而 \(\omega_s\in\overline{\mathcal{C}_r}\)。

2. 如果 \(\omega_t\) 属于某个仿射型的连通成分 \(X\)，设 \(Y=\Gamma\setminus(X\cup\{s\})\) 是 \(\Gamma\setminus\{s\}\) 除去 \(X\) 以外其它连通成分的并，则 \(X\) 和 \(Y\) 互不连通，从而 \[\omega_s = \underbrace{(\omega_s, \omega_s)}_{=0}\alpha_s + \sum_{t\ne s} (\omega_s, \omega_t)\alpha_t=\sum_{t\in X} (\omega_s,\omega_t)\alpha_t + \sum_{t\in Y} (\omega_s,\omega_t)\alpha_t=v_1+v_2.\] 这里 \(v_1\) 和 \(v_2\) 是正交的。于是 \[(\omega_s, \omega_s)=0\Rightarrow (v_1+v_2,v_1+v_2)=0\Rightarrow (v_1,v_1) + (v_2,v_2) = 0.\] 由于 \(v_1\in V_X\) 来自不可约仿射型，\(v_2\in V_Y\) 来自有限型，所以 \(\mathbb{R}v_1=\mathrm{rad}(V_X)\) 并且 \(v_2=0\)，从而 \(\omega_s=v_1\)。于是 \(\mathbb{R}\omega_s=\mathrm{rad}(V_X)\)。从而 \(\omega_s\) 表示为 \(\{\alpha_i\mid i\in X\}\) 的线性组合时，所有的系数 \((\omega_s,\omega_i)\) 系数都是非零且同号的。我们断言它们都小于 0。实际上在 \[\omega_s=\sum_{i\in X} (\omega_s,\omega_i)\alpha_i\] 两边同时用 \(\alpha_s\) 作内积有 \[1=(\omega_s,\alpha_s)=\sum_{i\in X} (\omega_s, \omega_i)\underbrace{(\alpha_s,\alpha_i)}_{\leq0}.\] 所以必须所有 \((\omega_s, \omega_i)<0\)。所以 \(X\cup \{s\}\) 构成的子图满足 这个结论 的条件，于是我们得到 \[\omega_s\in\overline{ \mathrm{cone}(\bigcup_{w\in W_I}w(\omega_t)) }\subset\overline{\mathcal{C}_r}.\]

\(\blacksquare\)

证明：若 \(\Gamma\) 的 level 是 2，则 \(\Omega_r\) 中的元素两两分离，将其归一化后得到的 \(\hat{\Omega}_r\) 仍然两两分离，所以 \(\hat{\Omega}_r\) 的元素两两之间的内积 \(\leq -1\)，从而 \(\hat{\Omega}_r\) 给出一个球堆。由于基本权是线性无关的，\(\hat{\Omega}_r\) 显然是非平凡的球堆。如果存在某个 space-like 的向量 \(k\) 满足 \((k,k)=1\) 且 \(k\) 对应的 \(C_k\) 与 \(\hat{\Omega}_r\) 中的任何球都没有公共内部的话，则有 \((k,\hat{\omega})\leq -1\) 对任何 \(\hat{\omega}\in\hat{\Omega}_r\) 成立，自然就有 \((k,\omega)<0\) 对任何 \(\omega\in\Omega_r\) 成立，从而 \((k,y)\leq0\) 对任何 \(y\in\overline{\mathcal{C}_r}=\mathrm{cone}(\Omega_r)\) 成立。根据 定理 5.7，\(\overline{\mathcal{C}_r}=\overline{ \mathcal{C} }\)，这意味着 \((k,y)\leq0\) 对任何 \(y\in\mathcal{C}\) 成立，即 \(-k\in\mathcal{C}^\ast\)。由于 对偶锥 \(\mathcal{C}^\ast\) 中的向量范数 \(\leq0\)，\((k,k)=(-k,-k)\leq0\)，矛盾。这就证明了 level 2 时 \(\Omega_r\) 是极大球堆。

反之若 \(\hat{\Omega}_r\) 是一个非平凡球堆，则 \(W\) 的 level 必然大于 1，且所有的实权之间两两分离。于是任何两个基本权生成的二维子空间 \(\mathrm{span}\{\omega_i,\omega_j\}\) 都是 time-like 或者 light-like 的。又由于 \(W\) 是双曲的，从而 \(\Gamma\setminus\{i,j\}\) 是 space-like 或者 light-like 的，所以 \(\Gamma\) 的 level 只能是 2。\(\blacksquare\)

计算例子

本节我们来介绍怎样用程序实际绘制一个二维的 Boyd-Maxwell 球堆。

以 \(K_4\) 完全图为例，每条边的标号是 4：

这个群的 rank 是 4，level 是 2，所以给出的是 \(\mathbb{R}^2\) 上的二维极大球堆。

单根系 \(\Delta=\{\alpha_i\}_{i=1}^4\) 满足 \((\alpha_i,\alpha_i)=1\)，它们对应 4 个虚球。前面已经介绍了，以 \(\alpha_i\) 为法向量的单反射 \(s_i\) 对应关于 \(B_i\) 的反演变换，它们生成了 \((W,S)\)。

由于删掉 \(K_4\) 的任何顶点后，剩下的是双曲三角群 \(\Delta(4,4,4)\)，所以基本权 \(\Delta^\ast = \{\omega_i\}_{i=1}^4\) 都是实的。归一化以后 \(\{\hat{\omega}_i\}_{i=1}^4\) 给出 4 个互相分离的实球。由于 \(i\ne j\) 时 \((\alpha_i,\omega_j)=0\)，所以 \(\alpha_i\) 和 \(\hat{\omega}_j\) 正交。又因为 \((\alpha_i,\omega_i)=1\)，以及 \(\omega_i\) 满足 \(0<(\omega_i,\omega_i)\leq1\)，所以归一化以后 \((\alpha_i,\hat{\omega}_i)\geq1\)，即球 \(\alpha_i\) 和 \(\hat{\omega}_i\) 有包含关系。我们要求对每个 \(i\)，实球 \(\hat{\omega}_i\) 包含在虚球 \(\alpha_i\) 的内部（即正半空间）。这是因为在计算时，我们要反复将平面上的点关于 \(\{\alpha_i\}\) 作反演，直到它落入基本区域 \(\overline{\mathcal{D}}\) 为止，然后判断这个最终位置属于哪个实球。所以我们一定要让虚球 \(\alpha_i\) 包含实球 \(\hat{\omega_i}\)。

将 \(W\) 作用在实球 \(\{C_i\}\) 上，得到的所有球即为所要绘制的球堆 \(\mathcal{P}=\bigcup_{w\in W,\,1\leq i\leq 4}w(\hat{\omega}_i)\)。

我们按照如下步骤来分别计算 \(\{\alpha_i\}\) 和 \(\{\hat{\omega}_j\}\)：

1. 第一个实球 \(\hat{\omega}_1\) 总是可以取为单位球 \(B(\mathbf{0},1)\)。并且 \(\hat{\omega}_1\) 是无界球。由于实球之间互不相交，所以 \(\hat{\omega}_2,\hat{\omega}_3,\hat{\omega}_4\) 都落在单位球内。
2. 两个虚球 \(\alpha_3,\alpha_4\) 可以取为过原点的两条直线，法向量分别为 \[\begin{aligned} \mathbf{n}_3&=(1, 0),\\ \mathbf{n}_4&=(-\cos\frac{\pi}{m_{3,4}},\sin\frac{\pi}{m_{3,4}})=(-\cos\frac{\pi}{4},\sin\frac{\pi}{4}). \end{aligned}\]
3. 第二个虚球 \(\alpha_2=B(\mathbf{a}_2,r_2)\) 是一个无界球，即 \(r_2<0\)。我们可以认为 \(r_2>0\)，但是在列方程时将 \(B\) 与其它球的内积取负：
   • 由 \(\alpha_2\) 与 \(\hat{\omega}_1\) 正交可得 \(|\mathbf{a}_2|^2=r_2^2+1\)；
   • 计算 \(\alpha_2\) 与 \(\alpha_3,\alpha_4\) 的夹角可得（注意 \(\cos\) 前面没有负号了） \[\begin{aligned} \frac{(\mathbf{a}_2,\mathbf{n}_3)}{r_2}&=\cos\frac{\pi}{m_{23}}=\cos\frac{\pi}{4},\\ \frac{(\mathbf{a}_2,\mathbf{n}_4)}{r_2}&=\cos\frac{\pi}{m_{24}}=\cos\frac{\pi}{4}. \end{aligned}\]
   由这三个方程可以解出 \(\mathbf{a}_2\) 和 \(r_2\)。
4. 第一个虚球 \(\alpha_1=B(\mathbf{a}_1,r_1)\) 也是一个无界球，即 \(r_1<0\)。我们同样认为 \(r_1>0\)，并在列方程时将它与其它球的内积取负：
   • 计算 \(\alpha_1\) 与 \(\alpha_3,\alpha_4\) 夹角可得 \[\begin{aligned} \frac{(\mathbf{a}_1,\mathbf{n}_3)}{r_1}&=\cos\frac{\pi}{m_{13}}=\cos\frac{\pi}{4},\\ \frac{(\mathbf{a}_1,\mathbf{n}_4)}{r_1}&=\cos\frac{\pi}{m_{14}}=\cos\frac{\pi}{4}. \end{aligned}\]
   • 计算 \(\alpha_1\) 与 \(\alpha_2\) 夹角可得 \[\frac{r_1^2+r_2^2-|\mathbf{a}_1-\mathbf{a}_2|^2}{2r_1r_2}=-\cos\frac{\pi}{m_{12}}=-\cos\frac{\pi}{4}.\] 注意由于 \(\alpha_1,\alpha_2\) 都是无界球，所以负号又回来了。
   由这三个方程可以得到一个二次方程，解出的 \(r_1\) 有两个值，我们取较小的那一个。（原因在后面解释）
5. 我们还剩下三个实球 \(\hat{\omega}_2,\hat{\omega}_3,\hat{\omega}_4\) 需要解出。\(\hat{\omega}_2\) 需要和 \(\alpha_3,\alpha_4\) 正交，所以它是一个以原点为中心的球，而它又要和 \(\alpha_1\) 正交，所以 \(\hat{\omega}_2\) 的半径为 \(\sqrt{|\mathbf{a}_1|^2-r_1^2}\)。
6. \(\hat{\omega}_3\) 与 \(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_4\) 正交，这可以得到三个方程。联立解出 \(\hat{\omega}_3\)。
7. \(\hat{\omega}_4\) 与 \(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\) 正交，也可以得到三个方程，联立解出 \(\hat{\omega}_4\)。

结果如下图所示，单根 \(\alpha_i\) 对应的虚球用虚线绘制，\(\hat{\omega}_i\) 对应的实球用实线绘制，同样的 \(i\) 使用同样的颜色。上标 \(\ast\) 表示该球以无界区域为内部。所以我们有三个无界的球 \(\alpha_1,\alpha_2,\omega_1\)。

注意到关于 \(\hat{\omega}_1\) 的反演保持虚球 \(\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\) 不变，因为它们都与 \(\hat{\omega}_1\) 正交；同时将 \(\alpha_1\) 变成另一个关于 \(\hat{\omega}_1\) 对称的球 \(\gamma_1\)。反演变换是保角的，所以 \(\{\gamma_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\}\) 也是一组夹角符合要求的镜面球，但是包含关系发生了改变，变成了 \(\gamma_1\) 包含在 \(\hat{\omega}_1\) 的内部。这是错误的。这就是为什么前面求解 \(\alpha_1\) 的半径时我们要取那个较小的解（这两个解给出的球心形如 \(r_1\mathbf{x}\) 和 \(r_2\mathbf{x}\,(\mathbf{x}\in\mathbb{R}^2)\)，所以半径较小者一定在单位球内部）。

我们再举一个只有一个实权的例子：

这个群只有第一个顶点是实的，所以整个球堆完全由一个实球 \(\hat{\omega}_1\) 生成：

具体的计算步骤可以参考 shadertoy 动画代码中的注释：

可以看到，每个实球都呈现一个二维的 Poincaré 密铺图案。这很好理解，因为如果 \(\omega_i\) 是实权，记 \(I=S\setminus\{i\}\)，则实球 \(\hat{\omega}_i\) 与虚球 \(\{\alpha_j\mid j\in I \}\) 都正交，这些虚球在 \(\hat{\omega}_1\) 中围成一个测地三角形，关于这个三角形三条边的反射生成的群是标准椭圆子群 \(W_I\)。\(W_I\) 保持 \(\hat{\omega}_i\) 不动，同时将测地三角形映射为 \(\hat{\omega}_i\) 中的双曲密铺。在前面 \(K_4\) 的例子 中，有 4 个初始实球，它们每一个都呈现 \(\Delta(4,4,4)\) 的双曲密铺；在 \({\rm\color{red}o\color{red}}-{\rm o}-{\rm o}\overset{7}{-}{\rm o}\) 的例子 中，只有一个初始实球，它呈现 \(\Delta(2,3,7)\) 的双曲密铺。

References

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