Möbius 变换与二维 Poincaré 双曲空间的等距
这几天因为疫情居家观察难得多出点时间（不用健步挤地铁），可以写点小文章。我之前写过一篇介绍 Möbius 变换分类的文章，今天继续那里的讨论，介绍一个 Möbius 变换 \(M\) 作为二维 Poincaré 双曲圆盘 \(\mathbb{D}\) 中等距的两种构造方法：
- 指定 \(M\) 的不动点的个数和位置，不动点的个数和位置可以决定变换的类型。
- 指定两个反射镜面的位置：取两条测地线作为镜面，则关于这两个镜面的反演变换的复合变换就是一个 Möbius 变换。两个镜面的相对位置可以决定变换的类型。
这两种方法分别对应在 \(M\) 作用下保持不变的两个圆族。
本文的插图使用 matplotlib 绘制，代码在 Github 上。
记号约定：
- \(\mathbb{D}\) 为二维 Poincaré 双曲圆盘。
- \(M\) 为一个 Möbius 变换。
- \(S^1\) 为单位圆周 \(|z|=1\)。
用不动点构造双曲等距
在复分析课程中，我们学过 \(\mathbb{D}\) 的保持定向的等距同构是 Möbius 群 \({\rm PSL}_2(\mathbb{C})\) 的一个子群，其元素具有如下的形式： \[M(z) = \mathrm{e}^{i\theta}\frac{z - a}{1-\overline{a}z},\quad \theta\in\mathbb{R},\, |a|<1.\] 可见 \(M\) 的迹 \(\mathrm{tr}(M)=\mathrm{e}^{i\theta}+1\) 总是满足 \(0\leq|\mathrm{tr}(M)|\leq2\)，所以 \(M\) 不可能是斜航型的 (loxodromic)，从而 \(\mathbb{D}\) 的保持等向的等距只能是椭圆、抛物、双曲三种。
也可以这样解释：\(\mathbb{D}\) 的任何等距变换必然将 \(S^1\) 仍然映射为 \(S^1\)，但斜航型的变换没有不变圆，所以不可能是 \(\mathbb{D}\) 上的等距变换。
下面分别介绍这三种情形。
椭圆型
椭圆型变换共轭于旋转 \(z\to\mathrm{e}^{i\theta}z\)，它们总是有两个不动点。如果 \(M\) 是 \(\mathbb{D}\) 上的椭圆型等距，则其两个不动点 \(p_1,\,p_2\) 必然一个在 \(\mathbb{D}\) 内，一个在 \(\mathbb{D}\) 外，且它们关于单位圆互为反演点。设 \(p_1\in\mathbb{D}\)，则 \(M\) 在 \(\mathbb{D}\) 上的作用是一个绕着 \(p_1\) 的旋转：
图中画出了两族圆：
- 第一族圆是彩色的，它们在双曲度量下的中心都是 \(p_1\)，\(M\) 保持每个圆不变，同时将圆上的每个点绕着 \(p_1\) 旋转。
- 第二族圆用虚线标注，这些圆都和第一族圆正交、同时经过 \(p_1\) 和 \(p_2\)，并且都与单位圆正交。\(M\) 作用在这些圆上会把一个圆变成同族中的另一个。
双曲空间中的圆也是欧氏空间中的圆，但是它们的圆心未必重合。一个 \(\mathbb{D}\) 中的圆越靠近边界，它的双曲度量下的圆心也会被「吸引」到靠近边界的位置。
抛物型
抛物型变换共轭于平移 \(z\to z+1\)，它们总是只有一个不动点。如果 \(M\) 是 \(\mathbb{D}\) 上的抛物型等距，则其唯一的不动点 \(p\) 必然位于单位圆周 \(S^1\) 上，\(M\) 在 \(\mathbb{D}\) 上的作用是一个双曲空间中的平移：
图中也画出了两族圆：
- 第一族圆是彩色的，它们都和 \(S^1\) 在 \(p\) 点处相切。\(M\) 作用在它们上面保持每个圆不变，同时将圆上的每个点沿着测地线向着 \(p\) 移动。这些圆叫做 horocycle，它们在双曲度量下的圆心是 \(p\)。
- 第二族圆用虚线标注，这些圆都和第一族圆正交、互相之间也在 \(p\) 点相切，并且都与单位圆正交。\(M\) 作用在这些圆上会把一个圆变成同族中的另一个。
双曲型
双曲型变换共轭于缩放 \(z\to cz,\,c\in\mathbb{R}^+\)，它们总是有两个不动点。如果 \(M\) 是 \(\mathbb{D}\) 上的双曲型等距，则其两个不动点 \(p_1,p_2\) 必然都位于单位圆周 \(S^1\) 上。\(M\) 在 \(\mathbb{D}\) 上的作用以其中一个为源点，另一个为汇点：
图中的两族圆中，
- 第一族圆是彩色的，它们同时经过 \(p_1\) 和 \(p_2\)，\(M\) 作用在它们上面保持每个圆不变，同时将圆上的每个点沿着圆给出的测地线从源点移动到汇点。
- 第二族圆用虚线标注，这些圆都和第一族圆正交、\(p_1\) 和 \(p_2\) 关于它们中的每一个都互为反演点，并且都与单位圆正交。\(M\) 作用在这些圆上会把一个圆变成同族中的另一个。
用反演变换的复合构造双曲等距
在上面的三张图中，彩色的圆对应的是 \(\mathbb{D}\) 中的点在 \(M\) 作用下的轨迹，它们都是测地线。我似乎有意冷落了虚线的圆族，把它们画的很不起眼。其实通过它们的反演变换也可以给出 \(M\) 的构造：
| 椭圆型 | 抛物型 | 双曲型 |
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- \(M\) 是椭圆型的，当且仅当它是两个在 \(\mathbb{D}\) 中相交的圆的反演变换的复合。
- \(M\) 是抛物型的，当且仅当它是两个在 \(\mathbb{D}\) 中平行的圆的反演变换的复合。这里平行的意思是两圆相切，且切点位于无穷远边界上。
- \(M\) 是双曲型的，当且仅当它是两个在 \(\mathbb{D}\) 中超平行的圆的反演变换的复合。这里超平行的意思是它们要么不相交，要么一个完全位于另一个的内部。
放到上半空间模型中，这些就都不难理解了：
- 椭圆型变换共轭于绕原点的角度为 \(\theta\) 的旋转，此旋转是关于两个夹角为 \(\theta/2\) 的直线反射的复合。
- 抛物型变换共轭于平移 \(T:z\to z + 1\)，\(T\) 是上半双曲空间模型中的等距，它可以表示为关于两平行直线 \(x=0\) 和 \(x=1/2\) 的反射的复合。我们可以用一个上半空间到 \(\mathbb{D}\) 的等距变换把实轴变成单位圆周，并把 \(\infty\) 点变到边界上的指定点 \(p\)。这时所有形如 \(x=k\) 的直线，由于它们都经过 \(\infty\)、互相平行、与实轴正交，所以都会变成过 \(p\) 点、两两相切于 \(p\)、且与单位圆正交的圆。在这些圆中任取两个圆，作它们反演变换的复合，给出的就是一个抛物型变换。
- 双曲型变换共轭于缩放 \(S:z\to cz,\,c>0\)，\(S\) 是上半空间模型中两个同心圆 \(|z|=1\) 和 \(|z|=\sqrt{c}\) 的反演变换的复合。\(S\) 的两个不动点是原点和无穷远点，它们关于这两个同心圆互为反演点。同理我们可以用一个从上半空间到 \(\mathbb{D}\) 的等距变换把实轴变成单位圆，并把原点和无穷远点分别映射到单位圆周上指定的两个不动点。这两个同心圆会被映射为 \(\mathbb{D}\) 中的两条测地线。关于这两条测地线的反演的复合就共轭于上半空间模型中的缩放。
注： 为什么两个圆的反演变换的复合是一个 Möbius 变换？你可以用一个 Möbius 变换 \(T\) 将任意给定的圆 \(C\) 变为实直线 \(\mathbb{R}^1\)，关于 \(\mathbb{R}^1\) 的反演就是复共轭 \(\mathrm{conj}(z)=\overline{z}\)，所以关于 \(C\) 的反演为 \(S=T^{-1}\cdot\mathrm{conj}\cdot T\)，从而 \(S\) 形如 \[S(z) = \frac{a\overline{z} + b}{c\overline{z}+d},\quad a,b,c,d\in\mathbb{C},\,z\in\mathbb{C}_{\infty}.\] 里面包含了复共轭，所以 \(S\) 不是 Möbius 变换，但两个反演变换的复合就是 Möbius 变换。