实化与复化
实化
设 \(V\) 是 \(\mathbb{C}\) 上的 \(n\) 维向量空间，我们可以「忘掉」 \(V\) 的复向量空间结构，把 \(V\) 看作实向量空间，记作 \(V_{\mathbb{R}}\) 以区别于 \(V\)。即 \(V_\mathbb{R}\) 与 \(V\) 作为加法群是一样的，但是数和向量的乘法限制在 \(\mathbb{R}\) 上。\(V_{\mathbb{R}}\) 是 \(2n\) 维的。如果 \(\{e_i\}_{i=1}^n\) 是 \(V\) 的一组 \(\mathbb{C}\)- 基，则 \(\{e_i,ie_i\}_{i=1}^n\) 是 \(V_\mathbb{R}\) 的一组 \(\mathbb{R}\)- 基。\(V_{\mathbb{R}}\) 叫做 \(V\) 的实化。
但是 \(V_{\mathbb{R}}\) 比一般的 \(2n\) 维实向量空间还要多出一个结构，这个结构来自 \(V\) 上虚数 \(i\) 的乘法，它诱导了 \(V_\mathbb{R}\) 上的 \(\mathbb{R}\)- 线性变换 \(J\colon\ v\mapsto iv\)。\(J\) 满足 \(J^2=-1\)。\(J\) 叫做 \(V_{\mathbb{R}}\) 上的复结构。
反过来，给定一个偶数维的实向量空间 \(W\) 以及 \(W\) 上的一个复结构 \(J\)，\(W\) 上可以自然地定义复向量空间结构：因为 \(J\) 本质就是虚数 \(i\) 的乘法，我们只要规定 \(i\) 和 \(W\) 中向量的乘法为 \(iw=J ( w )\)，然后扩展到 \(\mathbb{C}\) 上即可： \[( a+ib ) w = aw+bJ ( w ) ,\quad a,b\in\mathbb{R},w\in W.\] 我们用 \(( W,J )\) 表示这样得到的复向量空间。
总之任何任何复向量空间 \(V\) 可以等同于一个 \(2n\) 维实向量空间 \(V_{\mathbb{R}}\) 加上一个复结构 \(J\)。
反线性映射
设 \(V\) 是复向量空间，记 \(\overline{V}\) 是如下的向量空间：\(\overline{V}\) 作为加法群和 \(V\) 完全相同，但是复数与向量的乘法 \(\bullet\) 定义为 \(c\bullet z=\overline{c}z\)，其中右边的 \(\overline{c}z\) 是 \(V\) 中的原始数乘。我们称 \(\overline{V}\) 是 \(V\) 的共轭空间。
定义. 设 \(V,U\) 是复向量空间。如果映射 \(f\colon\ V\to U\) 满足下面两个条件，就称 \(f\) 是 反线性 映射：
- \(f\) 是从 \(V\) 到 \(U\) 的加法群同态：\(f(v_1+v_2)=f(v_1)+f(v_2)\) 对任何 \(v_1,v_2\in V\) 成立。
- \(f(cv)=\overline{c}v\) 对任何 \(c\in\mathbb{C}\) 和 \(v\in V\) 成立。
反线性映射是 \(\mathbb{R}\)- 线性的，但不是 \(\mathbb{C}\)- 线性的。
\(V\to U\) 的反线性映射和 \(V\to\overline{U}\) 的 \(\mathbb{C}\)- 线性映射是一回事。
复化
与实化相对应的操作是复化，即给定一个 \(n\) 维实向量空间 \(W\)，把域和向量的乘法扩展到 \(\mathbb{C}\) 上，使 \(W\) 成为一个复向量空间。我们记作 \(W^\mathbb{C}\) 以区别于 \(W\)。
构造 \(W^\mathbb{C}\) 的标准方法是使用张量积，令 \(W^\mathbb{C}=\mathbb{C}\otimes_\mathbb{R}W\)，则 \(W^\mathbb{C}\) 是 \(n\) 维复向量空间，复数与向量的乘法定义为 \[c ( z\otimes w ) = cz\otimes w.\] \(W\) 可以通过 \(w\to 1\otimes w\) 等同于 \(W^\mathbb{C}\) 的 \(\mathbb{R}\)- 子空间 \(1\otimes W\)。在这个等同下，\(W^\mathbb{C}\) 中的向量都是 \(W\) 中向量的 \(\mathbb{C}\)- 线性组合： \[\sum c_i\otimes w_i = \sum c_i(1\otimes w_i) \leftrightarrow \sum c_iw_i.\] 这一点与我们关于「 将 \(W\) 的数乘扩张到 \(\mathbb{C}\) 」的直觉完全一致。于是 \(W\) 的任何一组 \(\mathbb{R}\)- 基同时也是 \(W^\mathbb{C}\) 的一组 \(\mathbb{C}\)- 基。特别地，\(W\) 作为实向量空间的维数与 \(W^\mathbb{C}\) 作为复向量空间的维数相等。
\(W^\mathbb{C}\) 可以分解为两个实子空间的直和 \[W^\mathbb{C}=1\otimes W \oplus i\otimes W =1\otimes W \oplus i(1\otimes W) .\] 由于 \(W\) 可以等同于 \(1\otimes W\)，上式可以简写成 \(W^\mathbb{C}=W\oplus iW\)。
\(W^\mathbb{C}\) 与一般的 \(n\) 维复向量空间相比也多出一个结构，叫做共轭。
定义. 如果 \(\tau\colon\ V\to V\) 是反线性映射并且 \(\tau^2=1\)，就称 \(\tau\) 是一个共轭。
复数的共轭诱导了 \(\mathbb{C}\otimes_\mathbb{R}W\) 上的共轭： \[\tau ( c\otimes w ) =\overline{c}\otimes w,\quad c\in\mathbb{C}, w\in W.\] \(\tau\) 保持实子空间 \(1\otimes W\cong W\) 不变。\(W\) 可以理解为 \(V\) 在共轭 \(\tau\) 下的实部。
反过来，给定复向量空间 \(V\) 以及共轭 \(\tau\)，我们可以还原出使得 \(V=W^\mathbb{C}\) 成立的实向量空间 \(W\) 来。\(W\) 正是 \(\tau\) 的不动点子空间 \(W=\{v\in V\mid \tau ( v ) =v\}\)，即 \(\tau\) 的 +1 特征子空间。相应地 \(iW\) 是 \(\tau\) 的 -1 特征子空间并且 \(V=W\oplus iW\)。根据下面的命题，\(W\) 的复化就是 \(V\)。
命题. 设 \(V\) 是有限维复向量空间，\(W\) 是 \(V\) 的 \(\mathbb{R}\)- 子空间。若有 \(V=W\oplus iW\) 成立，则 \(V\cong \mathbb{C}\otimes_\mathbb{R}W\)。
证明：考察如下定义的映射 \[ \begin{aligned} f\colon\ \mathbb{C}\otimes_\mathbb{R}W & \to V\\ c\otimes w &\mapsto cw. \end{aligned} \] 显然 \(f\) 是 \(\mathbb{C}\)- 线性的。我们来验证 \(f\) 是双射。
由于 \(V=W\oplus iW\) 所以任何 \(v\in V\) 可以写成 \(v=w_1+iw_2,\,w_1,w_2\in W\) 的形式。不难验证 \(f ( 1\otimes w_1 + i\otimes w_2 ) = w_1+iw_2\) 所以 \(f\) 是满射。并且 \(f ( 1\otimes w_1 + i\otimes w_2 ) =0\) 当且仅当 \(w_1+iw_2=0\)，即 \(w_1=-iw_2\in W\cap iW= ( 0 )\)，从而 \(w_1=w_2=0\)，这说明 \(f\) 也是单射。于是 \(f\) 是同构。 \(\blacksquare\)
先实化后复化
有了上面的准备，我们来分析将一个 \(n\) 维复向量空间 \(V\)，先实化再复化得到的 \[( V_\mathbb{R})^\mathbb{C}=\mathbb{C}\otimes_\mathbb{R}V_\mathbb{R}\] 的结构。我其实可以直接写出结论来：
定理 4.1. 如果 \(V\) 是复向量空间，则我们有复向量空间的同构 \[ \begin{aligned} (V_\mathbb{R})^\mathbb{C}& \to V\oplus \overline{V}\\ c\otimes v &\mapsto (cv, \overline{c}v). \end{aligned} \]
证明 1：不难验证所给的映射是 \(\mathbb{C}\)- 线性的，并且把 \(1\otimes x + i\otimes y\) 映射为 \((x+iy,x-iy)\)。我们可以从 \((x+iy,x-iy)\) 唯一地反解出 \(x,y\) 来，所以这是一个线性同构。\(\blacksquare\)
上面的证明虽然简明了然，但是似乎没有揭示这个同构是怎么想出来的。特别是 \(\overline{V}\) 的出现显得有些突兀。我们换一种方法来分析：找到合适的线性变换并分析它在 \((V_\mathbb{R})^\mathbb{C}\) 上的作用。
证明 2：记 \(J\) 是 \(V_\mathbb{R}\) 的复结构，则 \(J^\mathbb{C}=1\otimes J\) 是 \(\mathbb{C}\otimes_\mathbb{R}V_\mathbb{R}\) 上的 \(\mathbb{C}\)- 线性变换并且 \(( J^\mathbb{C})^2 = -1\)。\(( V_\mathbb{R})^\mathbb{C}\) 可以分解为 \(J^\mathbb{C}\) 的 \(\pm i\) 特征子空间的直和： \[( V_\mathbb{R})^\mathbb{C}= V_+\oplus V_-.\] 具体写出来，就是 \[\begin{aligned} V_+ &= \frac{1\otimes V_\mathbb{R}- i\otimes J(V_\mathbb{R})}{2}, \\ V_- &= \frac{1\otimes V_\mathbb{R}+ i\otimes J(V_\mathbb{R})}{2}. \end{aligned}\]
容易验证 \(\tau\) 交换 \(V_+\) 和 \(V_-\)，但 \(\tau\) 是反线性的，所以 \(V_+\cong \overline{V_-}\)，即二者互为共轭空间。
进一步我们断言有复向量空间的同构 \(V_+ \cong V\)。考虑映射 \[ \begin{aligned} f\colon \ V_+ & \to (V_\mathbb{R}, J)\\ c\otimes v &\mapsto cv. \end{aligned} \] 这里右边的乘法 \(cv\) 理解为对 \(c=a+ib\) 有 \(cv=av+bJ(v)\)。
\(f\) 是 \(\mathbb{C}\)- 线性的，确实把 \(V_+\) 映射到 \(V_\mathbb{R}\)： \[f\left(\frac{1\otimes v- i\otimes J(v)}{2}\right) = \frac{v-J^2(v)}{2}=v.\] \(f\) 有逆映射 \[\begin{aligned} f^{-1}\colon \ V_\mathbb{R}& \to V_+\\ v &\mapsto \frac{1\otimes v- i\otimes J(v)}{2}. \end{aligned}\] 所以 \(V_+\cong (V_\mathbb{R},J)\cong V\)。至此我们就证明了 \[(V_\mathbb{R})^\mathbb{C}\cong V\oplus \overline{V}.\]
\(\blacksquare\)
这个同构也可以用下面的交换图来表示：
\[\require{amsCd} \begin{CD} \mathbb{C}\otimes_\mathbb{R}V_\mathbb{R}@>{c\otimes v\,\to\, (cv,\,\overline{c}v)}>> (V,\overline{V})\\ @V{\tau}VV @VV{(u,\,v)\leftrightarrow (v,\,u)}V \\ \mathbb{C}\otimes_\mathbb{R}V_\mathbb{R}@>{c\otimes v\,\to\, (cv,\,\overline{c}v)}>> (V,\overline{V}) \end{CD}\] 其中 \((u,v)\leftrightarrow(v,u)\) 是 \(\tau\) 在 \(V\oplus\overline{V}\) 上诱导的共轭结构，它交换两个直和分量。
线性变换的复化
设 \(W\) 是实向量空间，\(W^\mathbb{C}=\mathbb{C}\otimes_\mathbb{R}W\) 是复化，则任何 \(f\in\mathrm{Hom}_\mathbb{R}(W,W)\) 可以自然地扩展为 \[f^\mathbb{C}=1\otimes f\in\mathrm{Hom}_\mathbb{C}(W^\mathbb{C},W^\mathbb{C}).\] \(f^\mathbb{C}\) 与 \(f\) 有相同的矩阵。注意 \(f^\mathbb{C}\) 与共轭 \(\tau\) 交换，因为它们作用在张量积的不同分量上。
反过来，我们想知道何时 \(g\in\mathrm{Hom}_\mathbb{C}(W^\mathbb{C},W^\mathbb{C})\) 是某个 \(f\in\mathrm{Hom}_\mathbb{R}(W,W)\) 的复化：\(g=f^\mathbb{C}\)。一个必要条件当然是 \(g\) 与共轭 \(\tau\) 交换。这个条件也是充分的。这是因为，我们有自然同构 \[\mathrm{Hom}_\mathbb{C}(W^\mathbb{C}, W^\mathbb{C})\cong \mathbb{C}\otimes\mathrm{Hom}_\mathbb{R}(W,W).\] 所以 \(g\) 可以写成如下的形式： \[g=1\otimes f_1+i\otimes f_2,\quad f_1,f_2\in\mathrm{Hom}_\mathbb{R}(W,W).\] \(g\) 与 \(\tau\) 交换说明 \(f_2\) 作用在 \(W\) 上是零变换，从而 \(g=1\otimes f_1\)。