本文的问题出自 Williams 的教材 Probability
with
Martingales,虽然不算很难但是综合使用了许多知识,展示了抽象的鞅理论其实有着丰富多彩的应用。
问题:
一艘太空船正在宇宙中做星际航行时,飞船的控制系统出了故障,飞船不能正常地进行空间跳跃,而是只能预先设定一个距离,然后以此距离进行一次方向完全随机的跳跃。现在飞船想要返回太阳系。假设太阳系的半径是
,发生故障时飞船与太阳的距离为
。好消息是在每个时刻,飞船能够知道自身与太阳系的距离。
求证:不论采用怎样的跳跃策略,飞船返回太阳系的概率都小于 ;但是对任何 ,可以采取适当的策略,使得飞船返回太阳系的概率大于
,即 是最优概率。这个最优策略是什么?
预备知识
条件期望的预备知识
设 是两个随机变量, 是可测函数。我们考虑条件期望
,这是一个关于
可测的随机变量,根据
Doob-Dynkin 引理,它可以写成
的形式,其中 是一个 Borel
可测函数。但是这个
具体是什么呢?下面的 freezing lemma (Williams 1991, sec. 9.10) or (Durrett 2019, sec. 4.1)
告诉我们,在一定条件下我们可以先将 冻结为一个实数值 ,上式的右边变成 ,左边变成 条件下的期望
即 。这就找到了
的表达式。
引理
1.1. 设
是一个概率空间,
是两个取值在某可测空间 中的随机变量,子 域 满足
且 与 独立。可测函数 满足
非负或者 。令 ,则
在进入证明之前,我们来看个例子:
例:
设
是两个独立的随机变量, 服从的是
上的均匀分布, 服从的分布我们可以不用关心。问条件期望
是什么?
这相当于在 引理 1.1 中取 和 。引理 1.1 告诉我们可以把 中的 冻结为常数 ,把
视作关于常数 的积分 然后把 解冻为 即得
引理 1.1 中的可测空间 可以是多维空间 , 也可以是独立的随机向量。即如果
是关于随机变量的可测函数,
并且 和 独立,那么条件期望
就是一个以
为参变元的多重积分
证明:我们要证明对任何可测集 有
当 时,,从而
于是结论对所有形如
的集合的示性函数成立。这些函数构成一个 系。根据可测函数的单调类定理
(monotone class theorem),结论对所有非负或者可积函数都成立。
分析的预备知识
引理
1.2. 是 中以点 为中心,半径为 的球, 是球面上均匀分布的随机点,则 与原点 之间距离倒数的期望为 其中 是 与原点之间的距离。
这个引理其实是我们都熟悉的高中物理知识:假设以 为中心,半径为 的球壳上有总量为 1
的均匀分布的电荷,则球壳表面和内部的电势处处等于 ,球壳外部任意一点 的电势等于 和球心距离的倒数,即 (不计物理常数),此即为结论。
当然这不是一个严格的证明,实际上这个积分正是 Newton
势函数的简单情形。由于这不是本文的重点,就不再展开讲了,读者可以参考
(Donoghue 2014, chap.
8)。
建立模型
我们开始正式求解本文开头的问题。
初始时刻为 0,太阳系是以原点为圆心,半径为 的球,飞船初始位置在 处。
设
是定义在某个概率空间
上的一组独立同分布的、在单位球面上均匀分布的随机向量,它们表示飞船每次空间跳跃的随机方向。并设
以及
。
设第 次空间跳跃的距离为
,由于 是根据 时刻之前的信息决定的,所以 关于 可测。
设第
次空间跳跃后飞船的坐标为 ,那么
其中 是飞船的初始位置。
设
是飞船首次返回太阳系的时间: 则
的取值范围是 。我们要估算的是事件
的概率,这正是飞船能够在有限时间内回到太阳系的概率。
现在我们着手研究一下飞船的运动规律。
设 为第 次跳跃以后飞船与太阳系的距离,,我们想知道 和 之间的关系。
对 应用前面的关于条件期望的 引理 1.1 和 引理 1.2 得到
这里由于 和 都是关于 可测的,而 和 是独立的,所以应用 引理 1.1 的条件是满足的。
总结一下:
定理
2.1. 关于 构成一个上鞅
(与策略无关)。特别地如果跳跃距离总是不超过当前飞船与太阳系的距离,即对任何
有 ,则 还是一个鞅。
证明:只要再说明每个 是可积的随机变量即可。由于 是非负的随机变量因此
是有定义的且已经证明其小于等于 ,于是
对 归纳即可。
定理 2.1
是解决整个问题最关键的一步,有了它就海阔天空,没有它就寸步难行。由它我们立刻可以导出一个有趣的观察:由于非负上鞅一定是几乎处处收敛的,因此
定理 2.1 的结论蕴含
几乎处处存在。这有两种可能:
或者 。所以飞船要么飞向无穷远,即迷失在宇宙的深处,要么被吸引到某个有限的位置。
现在我们可以证明:
定理
2.2.
不论飞船采取怎样的策略,返回太阳系的概率都严格小于 。
证明只用到非常基础的鞅的知识:
设 ,则 是一个非负上鞅,所以
是几乎处处存在的。考虑由停时
截断得到的非负上鞅序列 ,这个上鞅序列也是几乎处处收敛的,其中 一方面根据非负可积函数列的 Fatou 引理有
另一方面
其中最后一个不等号是因为 。综合这两个不等式就得到了 ,即任何策略下飞船最终返回太阳系的概率不大于 。
要证明这个概率是严格小于
的,我们只要证明上面式子的最后一个不等号是严格成立的:
当然需要假定这里的 有正概率 (返回概率是 0
的话当然小于 ,没什么好证的)。为此只要证明在事件
上几乎处处有 ,即 即可。
我们来证明对每个 ,事件
都是零概率事件。
对 归纳: 时 ,结论成立。设结论在小于 时都成立,来看 的情形。
由于 ,我们只要证明
是几乎处处为 0 的随机变量即可。
在 引理 1.1 中取 ,我们得到
其中上式最右边的期望是对单位球面上均匀分布的 进行积分,结果是一个关于
的函数。显然无论如何上式右边作为一个只取 两个值的函数的积分,结果必然在
中。
- 如果 ,我们已经知道结果在
中。
- 如果 ,这时以 为中心, 为半径的球面上,与原点之间的距离为
或者 的点的测度为 0,即积分项 对几乎处处的 都是 0,当然积分值 。
于是我们有
根据归纳假设, 的概率是 0,即 是一个几乎处处为 0 的函数,从而
也几乎处处为 0,即得所证。
对策略的进一步分析
现在我们把注意力转移到飞船不能返回太阳系这个事件上来。前面已经说过,飞船的运动只有两种可能,迷失在无穷远处或者被禁锢在一个有限的区域内,所以如果飞船不能返回太阳系,则飞船要么飞向无穷远,要么在太阳系之外的一个有限区域内打转。我们想知道,怎么判断这两种情形哪一种会发生呢?
举个例子,考虑这样一个明显不合理的策略:第 次的跳跃距离总是设定为 ,在这个策略下飞船永远飞不出一个半径为
1 的空间,所以这种策略是应该避免的。
你可以注意到这个糟糕的策略的问题出在跳跃距离之和是收敛的。如果我们强迫每次跳跃的距离都大于一个固定的值
(
可以是任意的正数),就可以避免这种情形出现,这就是下面的定理:
证明:设 为 与 之间的夹角,利用关系
以及三角形的余弦公式可得
令 ,则在事件
上我们有
结合在事件
上有 ,于是在事件 上有 如果我们能证明
,再排除掉使得
不收敛的零测集,则对几乎处处的 都有 对无穷多个 成立。对这些 , 是不可能收敛到一个有限的点的,只能是
,这就说明飞船在
上几乎处处飞向无穷远。
为了证明 ,我们只要证明 是独立的事件列,且对每个 有 ,这样由
Borel-Cantelli 第二引理就得到了结论。
注意到(又用到 引理 1.1
啦)
于是对任何一组下标 ,记 以及
,并注意到由于 因此 ,所以
从而由递推可见对每个 都有
且它们是互相独立的。
最优策略
现在我们已经知道飞船返回太阳系的概率总是小于 ,也知道只要策略得当,就可以避免飞船在原地打转的糟糕情况。接下来的问题是:最好的策略到底是什么?
定理
4.1.
定义如下的跳跃策略:在准备第 次跳跃时,如果飞船已经在太阳系内,则令
,否则令 ,这里 。在这个跳跃策略下,飞船返回太阳系的概率大于
。
注意在这个策略中总是有 ,因此
实际上是一个鞅。此外由于总是有 ,所以 ,即 被常数 所控制。
接下来的证明不过是 定理 2.2
证明的重复:
这次根据控制收敛定理有 另一方面
这个时候要注意到在
上总是有 ,因此根据
定理 3.1
的结论,飞船几乎必然飞向无穷远,即 所以
综合两个式子就证明了 。
References
Donoghue, W. F. 2014.
Distributions and Fourier Transforms.
ISSN. Elsevier Science.
https://books.google.com/books?id=P30Y7daiGvQC.
Durrett, Rick. 2019. Probability: Theory and Examples. 5th ed.
Cambridge Series in Statistical and Probabilistic Mathematics. Cambridge
University Press.
Williams, David. 1991. Probability with Martingales. Cambridge
University Press.
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