星际迷航问题
问题： 一艘太空船正在宇宙中做星际航行时，飞船的控制系统出了故障，飞船不能正常地进行空间跳跃，而是只能预先设定一个距离，然后以此距离进行一次方向完全随机的跳跃。现在飞船想要返回太阳系。假设太阳系的半径是 \(r\)，发生故障时飞船与太阳的距离为 \(R>r\)。好消息是在每个时刻，飞船能够知道自身与太阳系的距离。
求证：不论采用怎样的跳跃策略，飞船返回太阳系的概率都小于 \(r/R\)；但是对任何 \(\epsilon>0\)，可以采取适当的策略，使得飞船返回太阳系的概率大于 \((r-\epsilon)/R\)，即 \(r/R\) 是最优概率。这个最优策略是什么？
这个问题是教材 (Williams 1991) 中的一道习题。这个问题的设定很有趣，但是给出一个基于测度论的严格解答却并不轻松。下面是我的解答。
预备知识
“冻结”引理
设 \(X,Y\) 是两个随机变量，\(\varphi\) 是可测函数。条件期望 \(\mathop{\mathrm{\mathbb{E}}}[\varphi(X,Y)|X]\) 是一个关于 \(\sigma(X)\) 可测的随机变量，根据 Doob-Dynkin 引理，它可以写成 \[\mathop{\mathrm{\mathbb{E}}}[\varphi(X,Y)|X]=g(X)\] 的形式，其中 \(g\) 是一个 Borel 可测函数。但是这个 \(g\) 具体是什么呢？下面的 freezing lemma (Williams 1991, sec. 9.10) or (Durrett 2019, sec. 4.1) 告诉我们，在一定条件下，我们可以这样计算 \(g\)：先将 \(X\) 冻结为一个实数值 \(x\)，上式的右边变成 \(g(x)\)，左边变成 \(\{X=x\}\) 条件下的期望 \[\mathop{\mathrm{\mathbb{E}}}[\varphi(X,Y)|X=x]=\mathop{\mathrm{\mathbb{E}}}\varphi(x,Y).\] 即 \(g(x)=\mathop{\mathrm{\mathbb{E}}}\varphi(x,Y)\)。
引理 1.1. 设 \((\Omega,\mathcal{F},\mu)\) 是一个概率空间，\(X, Y\) 是两个取值在某可测空间 \((S,\mathcal{S})\) 中的随机变量，子 \(\sigma\) 域 \(\mathcal{G}\subseteq\mathcal{F}\) 满足 \(X\in\mathcal{G}\) 且 \(\mathcal{G}\) 与 \(Y\) 独立。可测函数 \(\varphi: S\times S\to\mathbb{R}\) 满足 \(\varphi\) 非负或者 \(\mathop{\mathrm{\mathbb{E}}}|\varphi(X, Y)|<\infty\)。令 \(g(x)=\mathop{\mathrm{\mathbb{E}}}\varphi(x, Y)\)，则 \[\mathop{\mathrm{\mathbb{E}}}[\varphi(X, Y)|\mathcal{G}]=g(X).\]
在进入证明之前，我们来看个例子：
例： 设 \(X, Y\) 是两个独立的随机变量，\(Y\) 服从的是 \([0, 1]\) 上的均匀分布，\(X\) 服从的分布我们可以不用关心。问条件期望 \(\mathop{\mathrm{\mathbb{E}}}[\sin(XY)|X]\) 是什么？
这相当于在 引理 1.1 中取 \(\varphi(X,Y)=\sin(XY)\) 和 \(\mathcal{G}=\sigma(X)\)。引理 1.1 告诉我们可以把 \(\sin(XY)\) 中的 \(X\) 冻结为常数 \(X=x\)，把 \(\mathop{\mathrm{\mathbb{E}}}[\sin(XY)|X]\) 视作关于常数 \(x\) 的积分 \[\mathop{\mathrm{\mathbb{E}}}[\sin(xY)]=\int_0^1 \sin(xy)\,\mathrm{d}y = \frac{1}{x}\int_0^x \sin(z)\,\mathrm{d}z=\frac{1-\cos x}{x}.\] 然后把 \(x\) 解冻为 \(X\) 即得 \[\mathop{\mathrm{\mathbb{E}}}[\sin(XY)|X] = \frac{1-\cos X}{X}.\]
引理 1.1 中的可测空间 \((S,\mathcal{S})\) 可以是多维空间 \((\mathbb{R}^d,\mathcal{B}(\mathbb{R}^d))\)，\(X,Y\) 也可以是独立的随机向量。即如果 \(\varphi(X_1,\ldots,X_n,Y_1,\ldots,Y_m)\) 是关于随机变量的可测函数，\(\sigma(X_1,\ldots,X_n)\subset\mathcal{G}\) 并且 \(\mathcal{G}\) 和 \(\sigma(Y_1,\ldots,Y_m)\) 独立，那么条件期望 \(\mathop{\mathrm{\mathbb{E}}}[\varphi(X,Y)|\mathcal{G}]\) 就是一个以 \((x_1,\ldots,x_n)\) 为参变元的多重积分 \[\mathop{\mathrm{\mathbb{E}}}[\varphi(x_1,\ldots,x_n,Y_1,\ldots,Y_m)]=g(x_1,\ldots,x_n).\]
证明：我们要证明对任何可测集 \(C\in\mathcal{G}\) 有
\[\int_C \varphi(X, Y)\mathrm{d}\mu = \int_C g(X)\mathrm{d}\mu.\] 当 \(\varphi(x, y)=\mathbb{1}_A(x)\mathbb{1}_B(y)\) 时，\(g(x)=\mathbb{1}_A(x)\mathbb{P}(\{Y\in B\})\)，从而 \[\begin{align*}\int_C \mathbb{1}_A(X)\mathbb{1}_B(Y)\mathrm{d}\mu&=\mathbb{P}(\{X\in A\}\cap C\cap\{Y\in B\})\\&=\mathbb{P}(\{X\in A\}\cap C)\cdot\mathbb{P}(\{Y\in B\})\\&=\int_C\mathbb{1}_A(X)\mathrm{d}\mu\cdot\mathbb{P}(\{Y\in B\})\\&=\int_C g(X)\mathrm{d}\mu.\end{align*}\]
于是结论对所有形如 \(A\times B\) 的集合的示性函数成立。这样的示性函数构成一个 \(\pi\)- 系。根据可测函数的单调类定理 (monotone class theorem)，结论对所有非负或者可积函数都成立。\(\blacksquare\)
Newton 势
引理 1.2. \(B=B(A,R)\) 是 \(\mathbb{R}^3\) 中以点 \(A\) 为中心，半径为 \(R\) 的球，\(X\) 是球面上均匀分布的随机点，则 \(X\) 与原点 \(O\) 之间距离倒数的期望为 \[\mathop{\mathrm{\mathbb{E}}}\frac{1}{|X|}=\begin{cases}1/a & a>R,\\ 1/R & a\leq R.\end{cases}\] 其中 \(a=|A|\) 是 \(A\) 与原点之间的距离。
这个引理其实是我们都熟悉的高中物理知识：假设以 \(A\) 为中心，半径为 \(R\) 的球壳上有总量为 1 的均匀分布的电荷，则球壳表面和内部的电势处处等于 \(1/R\)，球壳外部任意一点 \(P\) 的电势等于 \(P\) 和球心距离的倒数，即 \(1/|P-A|\)（不计物理常数），此即为结论。
当然这不是一个严格的证明，实际上这个积分正是 Newton 势函数的简单情形。由于这不是本文的重点，就不再展开讲了，读者可以参考 (Donoghue 2014, chap. 8)。
随机向量的内积
下面这个命题相当于说：把球面上均匀分布的向量投影到“独立的随机方向”上，跟投到 \(x\) 轴上的分布是一样的。
命题 1.3. 设 \(U\) 是定义在某概率空间 \((\Omega,\mathcal F,\mathbb P)\) 中，在 \(\mathbb R^d\) 的单位球面上均匀分布的随机向量，\(\sigma\)- 域 \(\mathcal G\subset \mathcal F\) 与 \(U\) 独立。\(V\) 是 \(\mathcal G\)- 可测的 \(\mathbb R^d\) 中的单位向量。记 \(Y=U\cdot V\)，则
- \(Y\) 与 \(\mathcal G\) 独立。
- \(Y\) 与 \(U^x\) 同分布。
这里 \(U^x\) 表示 \(U\) 的 \(x\)- 分量。
证明：设 \(f:\mathbb R\to\mathbb R\) 是任一有界 Borel 可测函数。根据冻结引理，我们有 \[\mathop{\mathrm{\mathbb{E}}}[f(Y)\mid\mathcal G] = \mathop{\mathrm{\mathbb{E}}}[f(U\cdot V)\mid\mathcal G]=g(V),\quad g(v)=\mathop{\mathrm{\mathbb{E}}}[f(U\cdot v)].\] 换句话说，在计算 \(\mathop{\mathrm{\mathbb{E}}}[f(U\cdot V)\mid\mathcal G]\) 时，我们可以先将 \(V\) 视作一个常数单位向量 \(v\)，计算 \(\mathop{\mathrm{\mathbb{E}}}[f(U\cdot v)]\)，然后再将 \(v\) 替换回随机变量 \(V\)。
由于 \(U\) 服从 \(\mathbb R^d\) 中单位球面上的均匀分布，所以 \(U\cdot v\) 的分布是旋转不变的，即任何单位向量 \(v\) 给出的 \(U\cdot v\) 具有相同的分布。从而 \(f(U\cdot v)\) 的分布也相同。所以我们可以不妨取 \(v=e_1\) 为 \(x\) 轴的方向向量，得到 \[\mathop{\mathrm{\mathbb{E}}}[f(U\cdot v)]=\mathop{\mathrm{\mathbb{E}}}[f(U^x)].\] 右边是一个常数，它不依赖于 \(\omega\)，所以它必然还等于 \(\mathop{\mathrm{\mathbb{E}}}[f(Y)\mid\mathcal G]\) 的期望 \(\mathop{\mathrm{\mathbb{E}}}[f(Y)]\)。于是 \[\mathop{\mathrm{\mathbb{E}}}[f(Y)\mid\mathcal G]=\mathop{\mathrm{\mathbb{E}}}[f(U^{x})] = \mathop{\mathrm{\mathbb{E}}}[f(Y)].\]
- \(Y\) 与 \(\mathcal G\) 独立是 \(\mathop{\mathrm{\mathbb{E}}}[f(Y)\mid\mathcal G]=\mathop{\mathrm{\mathbb{E}}}[f(Y)]\) 的直接结论：对任何 Borel 可测集 \(A\subset\mathbb R\) 和 \(B\in\mathcal{G}\)，取 \(f=\mathbb{1}_A\)，利用 \[\mathop{\mathrm{\mathbb{E}}}[f(Y)\mid\mathcal{G}]=\mathop{\mathrm{\mathbb{E}}}[f(Y)]=\mathbb{P}(Y\in A).\] 以及条件期望的塔式性质，可得 \[\mathbb P(Y\in A,\,B)=\mathbb E[\mathbb{1}_B\mathbb{1}_{\{Y\in A\}}] =\mathop{\mathrm{\mathbb{E}}}[\mathbb{1}_B\mathbb E[\mathbb{1}_{\{Y\in A\}}\mid \mathcal G]] =\mathop{\mathrm{\mathbb{E}}}[\mathbb{1}_B\mathbb P(Y\in A)]=\mathbb P(Y\in A)\mathbb P(B).\] 这正是 \(Y\) 与 \(\mathcal G\) 独立的定义。
- \(Y\) 与 \(U^x\) 同分布是 \(\mathop{\mathrm{\mathbb{E}}}[f(U^x)]=\mathop{\mathrm{\mathbb{E}}}[f(Y)]\) 的直接结论。这一点是显然的。
\(\blacksquare\)
建立模型
我们开始正式求解本文开头的问题。
初始时刻为 0，太阳系是以原点为圆心，半径为 \(r\) 的球，飞船初始位置在 \((R,0,0)\) 处。
设 \(\{U_n\}_{n\geq 1}\) 是定义在某个概率空间 \((\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})\) 上的一组独立同分布的、在单位球面上均匀分布的随机向量，它们表示飞船每次空间跳跃的随机方向。并设 \(\mathcal{F}_n=\sigma(U_1,\ldots,U_n)\) 以及 \(\mathcal{F}_0=(\Omega,\emptyset)\)。
设第 \(n\) 次空间跳跃的距离为 \(l_n(n\geq1)\)，由于 \(l_n\) 是根据 \(n\) 时刻之前的信息决定的，所以 \(l_n\) 关于 \(\mathcal{F}_{n-1}\) 可测。
设第 \(n\) 次空间跳跃后飞船的坐标为 \(X_n\)，那么 \[X_n=X_{n-1} + l_n U_n.\quad n=1,2,\ldots.\] 其中 \(X_0=(R,0,0)\) 是飞船的初始位置。
设 \(T\) 是飞船首次返回太阳系的时间： \[T = \inf\,\{ n\mid X_n\in B(0,r)\},\]则 \(T\) 的取值范围是 \(\mathbb{N^+}\cup\{+\infty\}\)。我们要估算的是事件 \(\{T<+\infty\}\) 的概率，这正是飞船能够在有限时间内回到太阳系的概率。
现在我们着手研究一下飞船的运动规律。
记 \(|X_n|\) 为第 \(n\) 次跳跃以后飞船与太阳系的距离，我们来推导 \(|X_n|\) 和 \(|X_{n+1}|\) 之间的关系。
对 \(\mathcal{F}=\mathcal{F}_n,\,\mathcal{G}=\mathcal{F}_{n-1},\,X=(X_{n-1},l_n),\,Y=U_n,\,\varphi(X, Y)=1/|X_{n-1}+l_nY|\) 应用 引理 1.1 和 引理 1.2 得到
\[ \mathop{\mathrm{\mathbb{E}}}\left[\left.\frac{1}{|X_n|}\right|\mathcal{F}_{n-1}\right] =\mathop{\mathrm{\mathbb{E}}}\left.\frac{1}{\left|X_{n-1}+ l_nU_n\right|}\right|_{X_{n-1}=A}\leq\frac{1}{|A|}=\frac{1}{|X_{n-1}|}. \]
这里由于 \(X_{n-1}\) 和 \(l_n\) 都是关于 \(\mathcal{F}_{n-1}\) 可测的，而 \(U_n\) 和 \(\mathcal{F}_{n-1}\) 是独立的，所以 引理 1.1 的条件是满足的。
总结一下：
定理 2.1. 无论采取何种策略，\(\left\{\dfrac{1}{|X_n|}\right\}_{n\geq0}\) 总是一个上鞅。如果跳跃距离 \(l_n\) 满足对任何 \(n\geq1\) 有 \(l_n\leq |X_{n-1}|\)，则 \(\left\{\dfrac{1}{|X_n|}\right\}_{n\geq0}\) 还是一个鞅。
证明：只要再说明 \(\dfrac{1}{|X_n|}\) 可积即可。由于 \(\dfrac{1}{|X_n|}\) 非负，因此条件期望 \(\mathop{\mathrm{\mathbb{E}}}\left[\dfrac{1}{|X_n|}\bigg|\mathcal{F}_{n-1}\right]\) 有定义，并且上面已经证明了它小于等于 \(\dfrac{1}{|X_{n-1}|}\)，于是 \[\mathop{\mathrm{\mathbb{E}}}\left[\dfrac{1}{|X_n|}\right]=\mathop{\mathrm{\mathbb{E}}}\left[\mathop{\mathrm{\mathbb{E}}}\left[\dfrac{1}{|X_n|}\bigg|\mathcal{F}_{n-1}\right]\right]\leq\mathop{\mathrm{\mathbb{E}}}\left[\dfrac{1}{|X_{n-1}|}\right].\] 对 \(n\) 归纳即可。\(\blacksquare\)
定理 2.1 是解决整个问题最关键的一步，有了它就海阔天空，没有它就寸步难行。由它我们立刻可以导出一个有趣的观察：由于非负上鞅必然几乎处处收敛，因此 \(\lim\limits_{n\to\infty}|X_n|\) 几乎处处存在。这有两种可能：\(\lim\limits_{n\to\infty}|X_n|=+\infty\) 或者 \(\lim\limits_{n\to\infty}|X_n|<+\infty\)。所以飞船要么飞向无穷远，即迷失在宇宙的深处，要么被吸引到某个有限的位置。
现在我们可以证明：
定理 2.2. 不论飞船采取怎样的策略，返回太阳系的概率都严格小于 \(r/R\)。
证明：记 \(Z_n=\dfrac{1}{|X_n|}\)，根据 定理 2.1 \(\{Z_n\}_{n\geq0}\) 是非负上鞅，所以 \(Z_\infty=\lim\limits_{n\to\infty}Z_n\) 几乎处处存在。考虑停时 \(T\) 截断的非负上鞅序列 \(\{Z_{T\wedge n}\}\)。由非负可积函数列的 Fatou 引理有 \[\mathop{\mathrm{\mathbb{E}}}[\lim_{n\to\infty}Z_{T\wedge n}]\leq\varliminf_{n\to\infty}\mathop{\mathrm{\mathbb{E}}}[Z_{T\wedge n}]\leq \mathop{\mathrm{\mathbb{E}}}[Z_0]=\frac{1}{R}.\] 另一方面
\[ \begin{aligned} \mathop{\mathrm{\mathbb{E}}}[\lim_{n\to\infty}Z_{T\wedge n}]&=\mathop{\mathrm{\mathbb{E}}}[Z_T\mathbb{1}_{\{T<\infty\}}]+\mathop{\mathrm{\mathbb{E}}}[\lim_{n\to\infty}Z_n\mathbb{1}_{\{T=\infty\}}] \\&\geq \mathop{\mathrm{\mathbb{E}}}[Z_T \mathbb{1}_{\{T<\infty\}}]\geq\frac{\mathbb{P}(T<\infty)}{r}. \end{aligned} \]
其中最后一个不等号是因为在 \(\{T<\infty\}\) 上有 \(Z_T\geq 1/r\)。综合这两个不等式就得到了 \(\mathbb{P}(T<\infty)\leq r/R\)，即任何策略下飞船最终返回太阳系的概率不大于 \(r/R\)。
要证明这个概率是严格小于 \(r/R\) 的，只要证明上面式子中，最后的不等号是严格成立的： \[\mathop{\mathrm{\mathbb{E}}}[Z_T \mathbb{1}_{\{T<\infty\}}]>\frac{\mathbb{P}(T<\infty)}{r}.\]
为此只要证明在事件 \(\{T<\infty\}\) 上几乎处处有 \(Z_T>1/r\)，即 \(|X_T|<r\) 即可。由于在 \(\{T<\infty\}\) 上 \(|X_T|\leq r\)，所以我们只要证明在 \(\{T<\infty\}\) 上 事件 \(\{|X_T|=r\}\) 具有零测度。进一步，由于 \[\{|X_T|=r,\,T<\infty\}=\bigcup_{n=0}^\infty\{|X_n|=r,\,T=n\}\subset\bigcup_{n=0}^\infty\{|X_n|=r\}.\] 所以我们只要证明对每个 \(n\geq0\)，事件 \(\{|X_n|=r\}\) 具有零测度即可。
我们来证明一个稍微加强的结论：对每个 \(n\geq0\)，事件 \[A_n=\{|X_n|=0\}\cup\{|X_n|=r\}\] 都是零概率事件。
对 \(n\) 归纳：\(n=0\) 时 \(|X_0|=R>r\)，结论成立。设结论在小于 \(n\) 时都成立。由于 \[\mathbb{P}(A_n) =\mathop{\mathrm{\mathbb{E}}}[\mathbb{1}_{A_n}]=\mathop{\mathrm{\mathbb{E}}}[\mathop{\mathrm{\mathbb{E}}}[\mathbb{1}_{A_n}|\mathcal{F}_{n-1}]].\] 我们只要证明 \(\mathop{\mathrm{\mathbb{E}}}[\mathbb{1}_{A_n}|\mathcal{F}_{n-1}]\) 是几乎处处为 0 的随机变量即可。
在 引理 1.1 中取 \(X=(X_{n-1},l_n),\,Y=U_n,\,\mathcal{G}=\mathcal{F}_{n-1}\)，我们得到 \[\mathop{\mathrm{\mathbb{E}}}[\mathbb{1}_{A_n}|\mathcal{F}_{n-1}]=\mathop{\mathrm{\mathbb{E}}}[\mathbb{1}_{\{0,r\}}\circ |X_{n-1}+l_nU_n|\bigg|\mathcal{F}_{n-1}]=\mathop{\mathrm{\mathbb{E}}}\left[\mathbb{1}_{\{0,r\}}\circ |X_{n-1}+l_nU_n|\right].\] 其中上式最右边的期望是冻结 \((X_{n-1},l_n)\)，对单位球面上均匀分布的 \(U_n\) 进行积分，结果是一个关于 \((X_{n-1},l_n)\) 的函数。显然，上式右边作为一个只取 \(\{0,1\}\) 两个值的函数的概率积分，结果必然在区间 \([0,1]\) 中。即 \[0\leq\mathop{\mathrm{\mathbb{E}}}\left[\mathbb{1}_{\{0,r\}}\circ |X_{n-1}+l_nU_n|\right]\leq1.\]
注意到如果 \(|X_{n-1}|\ne 0\) 且 \(|X_{n-1}|\ne r\)，这时以 \(X_{n-1}\) 为中心，\(l_n\) 为半径的球面上，与原点之间的距离为 \(0\) 或者 \(r\) 的点的测度为 0，即积分项 \(\mathbb{1}_{\{0,r\}}\circ |X_{n-1}+l_nU_n|\) 对几乎处处的 \(U_n\) 都是 0，当然积分值 \(\mathop{\mathrm{\mathbb{E}}}\left[\mathbb{1}_{\{0,r\}}\circ |X_{n-1}+l_nU_n|\right]=0\)。
于是我们有 \[\mathop{\mathrm{\mathbb{E}}}\left[\mathbb{1}_{\{0,r\}}\circ |X_{n-1}+l_nU_n|\right]= \begin{cases} \in[0,1], & |X_{n-1}|=0 \text{ or } |X_{n-1}|=r\\ 0, & |X_{n-1}|\ne 0 \text { and } |X_{n-1}|\ne r \end{cases}\]
根据归纳假设，\(|X_{n-1}|=0 \text{ or } |X_{n-1}|=r\) 的概率是 0，即 \(\mathop{\mathrm{\mathbb{E}}}\left[\mathbb{1}_{\{0,r\}}\circ |X_{n-1}+l_nU_n|\right]\) 是一个几乎处处为 0 的函数，从而 \(\mathop{\mathrm{\mathbb{E}}}[\mathbb{1}_{A_n}|\mathcal{F}_{n-1}]\) 也几乎处处为 0，即得所证。\(\blacksquare\)
对策略的进一步分析
现在我们把注意力转移到飞船不能返回太阳系这个事件上来。前面已经说过，飞船的运动只有两种可能，迷失在无穷远处或者被禁锢在一个有限的区域内，所以如果飞船不能返回太阳系，则飞船要么飞向无穷远，要么在太阳系之外的一个有限区域内打转。我们想知道，怎么判断这两种情形哪一种会发生呢？
举个例子，考虑这样一个明显不合理的策略：第 \(n\) 次的跳跃距离总是设定为 \(1/2^n\)，在这个策略下飞船永远飞不出一个半径为 1 的空间，所以这种策略是应该避免的。
你可以注意到这个糟糕的策略的问题出在跳跃距离之和是收敛的。如果我们强迫每次跳跃的距离都大于一个固定的值 \(\epsilon\)（\(\epsilon\) 可以是任意的正数），就可以避免这种情形出现，这就是下面的定理：
定理 3.1. 设 \(\epsilon\) 是任一正数 \[E:=\{\omega:\ T(\omega)=\infty,\ l_n(\omega)\geq\epsilon,\ \forall n\geq1\},\] 则我们有 \[\lim_{n\to\infty} |X_n|=+\infty,\quad \text{for a.e.}\ \omega\in E.\]
证明：记 \(V_n=\frac{X_{n}}{|X_{n}|}\) 是 \(X_n\) 对应的单位方向向量，\(Y_n=U_n\cdot V_{n-1}\)。由 命题 1.3，\(\{Y_n\}\) 是 i.i.d 序列，其分布等于 \[U_1^x\sim{\rm Uniform}[-1,1].\] （三维空间中球面上均匀分布的随机向量，其每个坐标分量服从 \([-1,1]\) 上的均匀分布）
由 \(X_n=X_{n-1}+l_nU_n\) 可得 \[|X_n|^2=|X_{n-1}|^2+2l_n|X_{n-1}|Y_n+l_n^2.\tag{$\ast$}\label{eq:jump}\] 令 \(B_n=\{Y_n\geq 1/2\}\)，则 \(\{B_n\}\) 是独立事件序列，对每个 \(n\) 有 \(\mathbb{P}(B_n)=1/4\)。所以 \[\sum_{n=1}^\infty\mathbb P(B_n)=\sum_{n=1}^\infty 1/4=\infty.\] 由 second Borel-Cantelli lemma 有 \(\mathbb{P}(\{B_n\ \text{i.o.}\})=1\)。
另一方面，在事件 \(B_n\) 上有如下不等式： \[|X_n|^2\geq |X_{n-1}|^2+l_n|X_{n-1}|+l_n^2\geq(|X_{n-1}|+l_n/2)^2.\] 结合已知在事件 \(E\) 上有 \(l_n\geq\epsilon\)，所以在事件 \(B_n\cap E\) 上有 \[|X_n|\geq |X_{n-1}|+\epsilon/2,\quad\omega\in B_n\cap E.\] 由于 \(\mathbb{P}(\{B_n\ \text{i.o.}\})=1\)，所以对几乎处处的 \(\omega\in E\)，\(|X_n|\geq |X_{n-1}|+\epsilon/2\) 对无穷多个 \(n\) 成立。对这些 \(\omega\)，\(\lim\limits_{n\to\infty}|X_n|\) 不可能是一个有限点，所以必然是 \(\lim\limits_{n\to\infty}|X_n|=\infty\)。即飞船在 \(E\) 上几乎处处飞向无穷远。\(\blacksquare\)
最优策略
现在我们已经知道飞船返回太阳系的概率总是小于 \(r/R\)，也知道只要策略得当，就可以避免飞船在原地打转的糟糕情况。接下来的问题是：最好的策略到底是什么？
我们揭晓答案：最佳策略是在恰好穿过太阳系表面 \(\epsilon\) 处时”刹车”。
定理 4.1. 定义如下的跳跃策略：在准备第 \(n\) 次跳跃时，如果飞船已经在太阳系内，则令 \(l_n=0\)，否则令 \(l_n=|X_{n-1}|-r+\epsilon\)，这里 \(0<\epsilon<r\)。在这个跳跃策略下，飞船返回太阳系的概率大于 \((r-\epsilon)/R\)。
注意在这个策略中总是有 \(l_n<|X_{n-1}|\)，因此 \(\{Z_n=1/|X_n|\}\) 实际上是一个鞅。此外由于总是有 \(|X_n|\geq r-\epsilon\)，所以 \(Z_n\leq1/(r-\epsilon)\)，即 \(\{Z_n\}\) 被常数 \(1/(r-\epsilon)\) 所控制。
接下来的证明不过是 定理 2.2 证明的重复：
这次根据控制收敛定理有 \[\mathop{\mathrm{\mathbb{E}}}[\lim_{n\to\infty}Z_{T\wedge n}]=\lim_{n\to\infty}\mathop{\mathrm{\mathbb{E}}}[Z_{T\wedge n}]=\mathop{\mathrm{\mathbb{E}}}[Z_0]=\frac{1}{R}.\] 另一方面 \[\mathop{\mathrm{\mathbb{E}}}[\lim_{n\to\infty}Z_{T\wedge n}]=\mathop{\mathrm{\mathbb{E}}}[Z_T\mathbb{1}_{\{T<\infty\}}]+\mathop{\mathrm{\mathbb{E}}}[\lim_{n\to\infty}Z_n\mathbb{1}_{\{T=\infty\}}].\] 这个时候要注意到在 \(\{T=\infty\}\) 上总是有 \(l_n\geq\epsilon\)，因此根据 定理 3.1 的结论，飞船几乎必然飞向无穷远，即 \[\lim_{n\to\infty}Z_n=0,\quad \omega\in\{T=\infty\}.\] 所以 \[\mathop{\mathrm{\mathbb{E}}}[\lim_{n\to\infty}Z_{T\wedge n}]=\mathop{\mathrm{\mathbb{E}}}[Z_T\mathbb{1}_{\{T<\infty\}}]\leq\frac{1}{r-\epsilon}\mathbb{P}(T<\infty).\] 综合两个式子就证明了 \(\mathbb{P}(T<\infty)\geq(r-\epsilon)/R\)。
Star Trek 3: 最糟糕的跳跃策略
(Williams 1991) 的习题 E12.3 提出了一个新问题：
问题： 如果每次总是把飞船的跳跃距离设定为当前飞船到太阳系的距离，即对 \(n\geq1\) 有 \(l_n=|X_{n-1}|\)，求证 \[\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{|X_n|^2}<\infty,\quad \mathrm{a.e.}\]
证明：在 \((\ref{eq:jump})\) 中取 \(l_n=|X_{n-1}|\) 可得 \[|X_n|^2 = |X_{n-1}|^2(2+2 Y_n).\] 两边取对数，并迭代可得 \[\ln |X_n|^2 = \ln R^2 + \sum_{k=1}^n \ln(2+2Y_k).\] 根据强大数定律， \[\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \ln(2+2Y_k) \xrightarrow{\rm a.e.}\mu:=\mathbb{E}[\ln(2+2Y_1)] = \frac{1}{2} \int_{-1}^{1}\ln(2+2x)\,\mathrm{d}x = \ln 4-1>0.\] 任取正数 \(0<\alpha<\mu\)，则对几乎处处的 \(\omega\)，存在随机变量 \(N(\omega)\) 使得当 \(n\geq N(\omega)\) 时， \[\sum_{k=1}^n \ln(2+2Y_k)\geq \alpha n.\] 于是对几乎处处的 \(\omega\)，当 \(n\geq N(\omega)\) 时有 \[|X_n|^2\geq R^2e^{\alpha n}\Longrightarrow\frac{1}{|X_n|^2}\leq \frac{1}{R^2}e^{-\alpha n},\quad n\geq N(\omega).\] 因此几乎处处有 \(\sum_{n=1}^\infty1/|X_n|^2<\infty\) 成立。\(\blacksquare\)
从 \(|X_n|^2\geq R^2e^{\alpha n}\) 你可以看到，这个策略简直是自杀：它几乎必然会导致飞船跑到外太空去，而且是以指数的速度！
Star Trek 2: 降到二维平面还能回家吗？
故事在二维平面上神奇地反转了。同样的策略 \(l_n=|X_{n−1}|\) 在 \(\mathbb R^2\) 中竟让飞船必然回家！
问题： 假设飞船只能在一个固定的二维平面内跳跃，并且和 Star Trek 3 中一样，每次跳跃的距离都等于当前飞船到太阳系中心的距离。求证：飞船以概率 1 在有限时间内返回太阳系。
由于每次跳跃的长度等于当前半径，我们有和 Star Trek 3 中一样的关系： \[|X_n|^2 =|X_{n-1}|^2(2+2Y_n).\] \(\{Y_n\}\) 仍然是 i.i.d 序列，只不过 \(Y_n\) 不再是区间上的均匀随机变量，而是二维单位圆上的余弦分量： \[Y_k=\cos\theta_k,\quad \theta_k\sim{\rm Uniform}[0,2\pi).\label{eq:jump2d}\tag{$\star$}\] 像上次一样，对两边取对数，我们得到 \[\ln |X_n| = \ln R + \frac{1}{2}\sum_{k=1}^n \ln(2+2\cos\theta_k).\] 其中我们记 \[W_k=\ln(2+2\cos\theta_k),\quad S_n=\sum_{k=1}^n W_k.\] 作为微积分的两个小练习，你可以证明 \[\mathop{\mathrm{\mathbb{E}}}W_k = 0,\quad \mathop{\mathrm{\mathbb{E}}}W_k^2 = \sigma^2 < \infty.\] 所以 \(\{W_k\}\) 是一个均值为 0, 方差有限的 i.i.d 序列。
这正是中心极限定理派上用场的地方： \[\frac{S_n}{\sigma\sqrt{n}}\xrightarrow{\ d\ } N(0,1).\] 接下来我们按照 (Williams 1991) 中的提示：
固定一个正数 \(\alpha>0\)，令 \[A_n=\{S_n\le -\alpha\sigma\sqrt n\}.\] 显然 \(\{A_n\ \text{i.o.}\}\subset\{\varliminf S_n=-\infty\}\)，这是因为 \(-\alpha\sigma\sqrt n\to-\infty\)。
由 Fatou 引理，有 \[\mathbb P(\{A_n\ \text{i.o.}\})=\mathbb P(\limsup A_n)\ge \limsup_{n\to\infty}\mathbb P(A_n).\] 而中心极限定理给出 \[ \lim_{n\to\infty}\mathbb P(A_n) =\lim_{n\to\infty}\mathbb P\left(\frac{S_n}{\sigma\sqrt n}\le -\alpha\right) =\Phi(-\alpha)>0. \] 于是 \[\mathbb P(\varliminf S_n=-\infty)\ge\mathbb P(\{A_n\ \text{i.o.}\})\ge \Phi(-\alpha)>0.\] 但是等等，\(\{\varliminf S_n=-\infty\}\subset\sigma(U_1,U_2,\ldots)\) 是一个尾事件，只依赖无限未来的 \(U_n\)。Kolmogorov 0-1 律告诉我们，它不是概率 0 就是概率 1。但是既然它有正概率，那就只能是 1。类似地，也有 \(\mathbb{P}(\{\varlimsup S_n=+\infty\})=1\)。即对几乎处处的 \(\omega\)，\(S_n\) 在 \((-\infty,+\infty)\) 之间作“折返跑”。
最后回到飞船。由 \((\ref{eq:jump2d})\) 可得 \[|X_n| = R\exp (S_n/2).\] 于是 \(\mathbb{P}(\varliminf |X_n| = 0) = 1\)。即以概率 1，\(|X_n|\) 可以无限多次小于任何的正值。所以飞船以概率 1 返回太阳系。