在数学中有许多「三分天下」的例子，比如：

1. 常曲率空间只有 Euclidean、球面、双曲三种。
2. 三类典型的偏微分方程：热方程 （抛物）、Laplace 方程 （椭圆）、波方程 （双曲）。
3. 复平面上全纯等价下只有三种单连通区域：单位圆 \(\mathbb{D}\)、复平面 \(\mathbb{C}\)、扩充复平面 \(\overline{\mathbb{C}}\)。
4. 不可约代数簇 （素理想） 在扩张下的三种行为：分解、惯性、分歧。
5. 随机游动可以分为零常返、正常返、暂态。
6. 实数域 \(\mathbb{R}\) 上的有限维结合可除代数只有三种：\(\mathbb{R}\)、复数域 \(\mathbb{C}\)、四元数 \(\mathbb{H}\)。

本文要介绍的是另外两个三分天下的例子，它们来自群表示论，即有限群的不可约实表示在复数域上的分解，和不可约复表示在实数域上的实现。这两个例子是紧密相关的。

不可约实表示在复数域上的分解

在有限群的表示论中，第一个遇到的重要结论大概非 Schur 引理莫属：

我记得还是本科生的时候，在自学到这个结论时就曾经想过这个问题： 如果 \(k=\mathbb{R}\) 是实数域的话，那么 \(D\) 作为 \(\mathbb{R}\) 上的有限维结合可除代数只有三种：实数域 \(\mathbb{R}\)，复数域 \(\mathbb{C}\)，四元数体 \(\mathbb{H}\)。这三种可能性分别对应 \(\mathbb{R}G\)- 模 \(V\) 的什么性质呢？

答案是，\(D\) 决定了 \(V\) 作为复表示时分解为不可约表示的方式。等等，把 \(V\) 看作复表示是什么意思来着？

有两种途径可以解释怎样把 \(V\) 看作复表示，第一种方式使用纯矩阵的语言，第二种则使用张量积的语言。它们本质是一回事。

使用矩阵的语言最为直观。让我们回忆，\(V\) 是 \(G\) 的实表示意味着有群同态 \[G\overset{\rho}{\longrightarrow} {\rm GL}(n,\mathbb{R}),\quad n=\dim V.\] 但实矩阵也是复矩阵，所以 \(\rho\) 也是 \(G\to {\rm GL}(n,\mathbb{C})\) 的同态。所以 \(\rho\) 自然也是 \(G\) 的复表示。

使用张量积的语言就很不直观了，但是我更偏好这种方式，因为这可以让我们在更高的抽象层次上进行计算。为了把 \(V\) 看作 \(\mathbb{C}G\)- 模，我们需要把 \(V\) 中数和向量的乘法扩展到 \(\mathbb{C}\) 上。所以我们考虑 \(V\) 的 复化 \(V_\mathbb{C}=\mathbb{C}\otimes_\mathbb{R}V\)。\(V_\mathbb{C}\) 中复数与向量的乘法由 \[z(c\otimes v)=zc\otimes v,\quad z,c\in\mathbb{C},v\in V.\] 给出。\(V\) 可以等同于 \(V_\mathbb{C}\) 的实子空间 \(1\otimes V\)。在这个等同下，\(V\) 的一组 \(\mathbb{R}\)- 基也是 \(V_\mathbb{C}\) 的一组 \(\mathbb{C}\)- 基。任何 \(T\in\mathrm{End}_\mathbb{R}(V)\) 通过 \(T\to 1_\mathbb{C}\otimes T\) 变成 \(V_\mathbb{C}\) 上的 \(\mathbb{C}\)- 线性变换。\(T\) 和 \(1_\mathbb{C}\otimes T\) 在同一组基下具有相同的矩阵。

特别地，\(G\) 在 \(V_\mathbb{C}\) 上的作用定义为 \(1_\mathbb{C}\otimes g\) 在 \(V_\mathbb{C}\) 上的作用： \[g(c\otimes v) = c\otimes gv.\] 这个作用是 \(\mathbb{C}\)- 线性的，在此作用下 \(V_\mathbb{C}\) 成为一个 \(\mathbb{C}G\)- 模。

怎么计算 \(V_\mathbb{C}\) 的分解呢？这就要用到群表示论中关于半单代数结构的一个基本结论：

用 \(V_\mathbb{C}\) 代替 \(W\)，上面的结论告诉我们可以通过将 \(\mathrm{End}_{\mathbb{C}G}(V_\mathbb{C})\) 表示为矩阵代数的直积来获得 \(V_\mathbb{C}\) 的分解。根据自然同构 \[\mathrm{End}_{\mathbb{C}G}(V_\mathbb{C})\cong \mathbb{C}\otimes_{\mathbb{R}}\mathrm{End}_{\mathbb{R}G}(V)=\mathbb{C}\otimes_\mathbb{R}D.\] 问题最终归结为将 \(\mathbb{C}\otimes_{\mathbb{R}}D\) 表示为矩阵代数的直积。

我们来论证 \(V_\mathbb{C}\) 的分解具有如下的「三分性质」：

1. \(D=\mathbb{R}\)：由 \(\mathbb{R}\otimes_\mathbb{R}\mathbb{C}\cong\mathbb{C}\)，因此 \(V_\mathbb{C}\) 仍然是不可约的。
2. \(D=\mathbb{C}\)：根据 \(\mathbb{C}\)- 代数同构 \(\mathbb{C}\otimes_\mathbb{R}\mathbb{C}\cong\mathbb{C}\times\mathbb{C}\) ¹，因此 \(V_\mathbb{C}\) 的分解为 \(V_\mathbb{C}=V_1\oplus V_2\)，即 \(V_\mathbb{C}\) 是两个不同构的复表示的直和。注意 \(V_\mathbb{C}\) 的特征与 \(V\) 相同，是个实特征，所以 \(V_1\) 和 \(V_2\) 是共轭的，即 \(V_2=V_1^\ast\)。
3. \(D=\mathbb{H}\)：根据 \(\mathbb{C}\)- 代数同构 \(\mathbb{H}\otimes_\mathbb{R}\mathbb{C}\cong\mathrm{Mat}_2(\mathbb{C})\) ²，因此 \(V_\mathbb{C}\) 的分解为 \(V_\mathbb{C}=2V_1\)，即 \(V_\mathbb{C}\) 是某个不可约模的二重和。

不可约复表示在实数域上的实现

显然 \(V\) 可以在实数域上可以实现的一个必要条件是 \(\chi\) 是实特征，即对任何 \(g\in G\)，\(\chi(g)\) 都是实数，但这个条件是否也是充分的呢？

答案是否定的。

那要使得一个不可约复表示可以在实数域上实现，它应该满足怎样的条件？假定你对实向量空间的复化有足够的了解 ³，那就可以直接看到本质：这等价于存在一个与 \(G\) 交换的 复共轭 \(J\colon\ V\to V\)。即 \(J\) 是 共轭线性 的，满足 \(J^2=1\) 并且对任何 \(g\in G\) 有 \(gJ=Jg\)。我们会看到，存在三种互斥的情形：

1. 不存在与 \(G\) 交换的共轭线性变换 \(J\)
2. 或者如果存在的话，这样的 \(J\) 在只差一个常数的意义下是唯一确定的，在适当缩放以后有两种可能：\(J^2=\pm1\)。

1 和 2 互斥是显然的，但是 2 中的两种情形为什么互斥就不那么显然了。注意不要以为 \(J^2= 1\) 的话会有 \((iJ)^2=-1\)。实际上由于 \(iJ=\overline{i}J\)，所以 \((iJ)^2=iJiJ=J^2\)。

记 \(V^\ast\) 为 \(V\) 的对偶表示。\(V^\ast\) 的特征是 \(\overline{\chi}\)。

我们将论证 \(V\) 具有如下的「三分性质」：

复类型显然与后面两种类型是互斥的。所以我们只需要讨论 \(V\cong V^\ast\) 时会发生什么。

根据 Schur 引理，\(\mathrm{Hom}_G(V,V^\ast)\cong\mathbb{C}\) 是一维的。但是我们有 \(G\)- 模同构 \[\mathrm{Hom}_G(V,V^\ast)\cong \mathrm{Bil}(V) \cong V^\ast\otimes V^\ast.\]

所以 \(V^\ast\otimes V^\ast\) 作为 \(\mathbb{C}G\)- 模也是一维的。但是 \(V^\ast\otimes V^\ast\) 总是可以分解为两个 \(G\)- 不变子空间的直和，即对称和反对称的双线性形式：

\[V^\ast\otimes V^\ast=S^2V^\ast\oplus\Lambda^2V^\ast.\] 其中 \(S^2V^\ast\) 是二阶对称张量组成的空间，\(\Lambda^2V^\ast\) 是二阶反对称张量组成的空间。

于是 \(V\) 上的任何 \(G\)- 不变双线性型 \(B\) 要么是对称的： \[B(v,w)=B(w,v).\] 要么是反对称的： \[B(v,w)=-B(w,v).\] 二者必居其一。

取 \(\langle\,,\,\rangle\) 为 \(V\) 上的任一 \(G\)- 不变的正定 Hermite 内积。其中 \(\langle\,,\,\rangle\) 关于第一个分量是共轭线性的，关于第二个分量是线性的。从而在一组标准正交基 \(\{e_i\}_{i=1}^n\)下 \(\langle\,,\,\rangle\) 形如 \[\langle\sum_{i=1}^n x_ie_i,\,\sum_{i=1}^n y_ie_i\rangle=\sum_{i=1}^n\overline{x}_i y_i.\]

由于 \(\langle\,,\,\rangle\) 是正定的当然非退化，从而对任何 \(V\) 上的 \(\mathbb{C}\)- 线性泛函 \(f\)，都存在唯一的 \(z\in V\) 使得 \(f=\langle z,\,\cdot\rangle\)。特别地，固定 \(v\in V\)，对线性泛函 \(\phi_v\colon\ w\mapsto B(v,w)\)，存在唯一的 \(z\in V\) 使得 \[\langle z,\, w\rangle = \phi_v(w) = B(v,w).\] 这里 \(z\) 依赖于 \(v\)。我们记这个从 \(v\) 到 \(z\) 的映射为 \(J\colon\ v\mapsto z\)。从而 \[B(v, w) = \langle Jv, w\rangle.\] 由于 \(B\) 和 \(\langle\,,\,\rangle\) 都是 \(G\)- 不变的，因此 \(J\) 必然与 \(G\) 的作用交换 ⁴。

注意到 \(B\) 关于第一个分量是线性的，但是 \(\langle\,,\,\rangle\) 关于第一个分量是共轭线性的，所以 \(J\) 必然也是共轭线性的，即对任何 \(c\in\mathbb{C}\) 有 \[J(cv) = \overline{c}z.\]

由于共轭线性变换的平方是 \(\mathbb{C}\)- 线性的，所以 \(J^2\) 是 \(\mathbb{C}\)- 线性的且与 \(G\) 的作用交换。由 Schur 引理存在 \(c\in\mathbb{C}\) 使得 \(J^2=cI\)，\(c\ne0\)。我们来说明必有 \(c>0\) 或者 \(c<0\)。这两种情形分别取决于 \(B\) 是对称的或者反对称的。

1. 如果 \(B\) 是对称的，则 \[\langle Jv, w\rangle= \langle Jw, v\rangle.\] 取 \(v=Jw\) 带入上式得到 \[\langle J^2w, w\rangle=\langle Jw, Jw\rangle\geq0.\] 由于 \(J^2=cI\)，所以必然有 \(c>0\)。

2. 类似地当 \(B\) 反对称时可得 \(c<0\)。

于是通过给 \(J\) 除以 \(\sqrt{|c|}\)，我们就得到了一个新的共轭线性变换，把它仍然记作 \(J\)，则 \(J\) 满足 \(J^2=\pm1\)。我们来说明这两种情形分别对应 \(V\) 是实类型或者四元数类型。

1. 如果 \(J^2=1\)，由于 \(J\) 是共轭线性的，\(J\) 实际上给出了 \(V\) 上的一个共轭结构。记 \(W=\{w\in V\mid J(w)=w\}\) 是 \(J\) 的不动点，则 \(V\) 是 \(W\) 的复化：\(V\cong \mathbb{C}\otimes_{\mathbb{R}}W\)。由于 \(G\) 的作用与 \(J\) 交换，所以 \(G\) 在 \(V\) 上的作用 \(\rho(g)\) 都形如 \(\rho(g)=1\otimes\rho_W(g)\)，其中 \(\rho_W(g)\) 是 \(W\) 上的 \(\mathbb{R}\)- 线性变换。即表示 \(\rho\) 是表示 \(\rho_W\) 的复化。所以 \(V\) 是实的。
2. 如果 \(J^2=-1\)，那么 \(1,\, I=i,\,J,\, K=IJ\) 满足通常的四元数乘法，它们都和 \(G\) 的作用交换，所以 \(V\) 可以变成一个左 \(\mathbb{H}G\)- 模，将此模限制在复数域上即为表示 \(V\)，从而表示 \(V\) 是四元数的。

实类型和四元数类型是互斥的，否则 \(V\) 上将同时存在一个对称双线性型和一个反对称双线性型，与 \(\dim_\mathbb{C}(V^\ast\otimes V^\ast)=1\) 矛盾。

总之我们证明了表示 \(V\) 必然恰好属于实、复、四元数三种类型之一，其中只有实类型可以在实数域上实现。而且由上面的分析不难得出下面的推论：

这三种情形分别对应 \(\dim_{\mathbb{C}}(S^2V^\ast)-\dim_{\mathbb{C}}(\Lambda^2V^\ast)\) 的值是 0, +1 和 -1。通过一些简单的计算不难得到 \[\dim_{\mathbb{C}}(S^2V^\ast)-\dim_{\mathbb{C}}(\Lambda^2V^\ast)=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}\chi(g^2).\]

\(F(\chi)=\dfrac{1}{|G|}\sum\limits_{g\in G}\chi(g^2)\) 叫做 \(\chi\) 的 Frobenius-Schur 指标，于是我们有

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