本文整理自我 2024 年 6 月 14 日在上海科技大学数学所的一个小报告，标题是「GPU 涂鸦与数学可视化」。我保留了报告的技术内容，略去了报告中介绍 demoscene 文化和分形文化的部分。

春节的晚上，外面鞭炮喧天，家人在看电视，我躲在屋里看数学，还是挺惬意的。

我看的是 John Baez 和 Greg Egan 的博客。John Baez 是一位在科普方面非常高产的数学家，写过不计其数的科普文章。读他的文章非常让人享受，因为他总是从直观的例子入手，一步步启发读者，展开到更高级的数学。Greg Egan 是澳大利亚的一位非常高产的科幻小说作家，有不少作品已经被国内引入。他的小说属于硬科幻风格，而且是非常硬的那种。他也有不少有趣的 博客文章。不过与 John Baez 不同的是，Greg Egan 的文章不太会去兼顾不同水平的读者，对我来说，要看懂他在说什么经常不是一件容易的事情。

John Baez 博客上有一个系列 Rolling circles and balls 讨论了圆的外摆线和焦散，Greg Egan 也有一篇 文章 更深入的讨论了曲线的焦散。这个话题非常有意思，我也一时手痒写代码实验了一番并记录在此。

五一期间我写了一个 shadertoy 小动画，演示 Möbius 变换与球的刚体运动之间的关系：

这几天因为疫情居家观察难得多出点时间（不用健步挤地铁），可以写点小文章。我之前写过一篇介绍 Möbius 变换分类的文章，今天继续那里的讨论，介绍一个 Möbius 变换 \(M\) 作为二维 Poincaré 双曲圆盘 \(\mathbb{D}\) 中等距的两种构造方法：

1. 指定 \(M\) 的不动点的个数和位置，不动点的个数和位置可以决定变换的类型。
2. 指定两个反射镜面的位置：取两条测地线作为镜面，则关于这两个镜面的反演变换的复合变换就是一个 Möbius 变换。两个镜面的相对位置可以决定变换的类型。

这两种方法分别对应在 \(M\) 作用下保持不变的两个圆族。

本文的插图使用 matplotlib 绘制，代码在 Github 上。

我写了一个 shadertoy 小动画，演示 (Needham 1997) 书中第 7 章 “Winding numbers and topology” 中的结论：