在数学中有那么一些问题，它们的表述简单而初等，但是解决起来却非常困难，往往需要相当的奇思妙想和深刻的工具。围绕这些问题。不同领域的数学相互交织，演绎出许多奇妙的故事。

Young 表就是一个典型的例子，组合数学，表示论，概率论在这里发生了奇妙的交汇。

我们从一个有趣的问题开始：

虽然问题的表述很简单，但其实答案相当复杂，叫做钩长公式 (hook length formula)。钩长公式有好几个证明，但我最喜欢的证明是基于 Schur 多项式的理论，接下来就来介绍它。

Wedderburn-Artin 定理最早源于 1907 年 Wedderburn 研究域上有限维结合代数的分类定理。在 Wedderburn 考虑这个问题的时候，Killing 和 Cartan 等人已经完成了有限维复半单 Lie 代数的分类工作，如果读者对有限维 Lie 代数有所了解的话，可能已经知道任何有限维复 Lie 代数 \(L\) 有一个极大可解理想 \(\mathrm{rad}(L)\)，叫做 \(L\) 的根 (radical)，去掉这个根的商代数 \(L/\mathrm{rad}(L)\) 是半单代数，其上的双线性型 Killing 型是非退化的，从而可以通过反复取正交补的方式将 \(L/\mathrm{rad}(L)\) 分解为一些单代数的直和，然后对单 Lie 代数的结构进行讨论得出其共有 9 种不同的类型。Wedderburn 的思路自然受到了 Killing 等人工作的启发，他采取了类似的套路：

对域 \(F\) 上的有限维结合代数 \(A\)：

1. 定义根理想 \(\mathrm{rad}(A)\)。
2. 转移到半单代数 \(A/\mathrm{rad}(A)\)。
3. 将 \(A/\mathrm{rad}(A)\) 分解为单代数的直和。
4. 讨论单代数的结构。

整个路线图如下所示：

总之虽然有限维复李代数和结合代数结构相差很大，但它们的结构定理遵循了类似的套路：拿走可解/幂零的部分，剩下的部分是半单的，而半单是单的直和，于是最终归结为对单成分的结构进行讨论。

Wedderburn-Artin 定理的过程比较长，不过在头脑中事先明确这条主线，理解整个证明并不是一件困难的事情。

本文将针对左 Artinian 环的情形证明 Wedderburn-Artin 定理。我将采用上面 Wedderburn 的证明途径，而不是现在教科书上普遍使用的 Jacobson 根方法。我主要参考了 Curtis 和 Reiner 的经典 (Curtis and Reiner 1962)，Herstein 的精彩小书 (Herstein 1994)，以及林节玄的 (Lam 2001)。C&R 的书是个大部头，但它总是从最基本的概念讲起，叙述清楚易懂，对新手非常友好。Herstein 的书则是另一种风格，主线简单，节奏很快，短短几章就讲到了中心单代数和 Galois 上同调。林节玄的书风格则更为现代一些，我没有细读，不多评价。

本文整理自我在讨论班上做的一次约两小时的报告，介绍中心单代数的三个基本结论：

1. 中心单代数对张量积运算是封闭的。
2. Noether-Skolem 定理。
3. 双重中心化子定理。

这些内容虽然经典，但不同教材的讲解方式差异很大，找到一个完全符合自己口味的不是件容易的事情。对初学者而言，一些名气很大的教材反而不见得友好。我当初念 (Jacobson 1980) 就感觉很抓狂。后来我查阅了不少教材后经过提炼整理得到了本文。我个人认为这是最直接清楚的讲法。

Hurwitz 平方和定理是有限群表示论的一个精彩应用，本文是若干年前读书时的笔记。

Jordan 标准形定理是线性代数中的基本定理，你可能会好奇，这么一个老掉牙的，在无数教材和讲义中都可以找到的定理，还能写出什么新意来呢？

理由有两个。第一个是我曾经在做助教给学生讲这个定理的时候，突然发现不知道该怎么启发他们为好。虽然我知道 Jordan 标准形定理的很多种证法，照念几个不在话下，但是感觉很不自然：为什么要引入 Jordan 块？这些块究竟代表了什么？怎么才能说清定理背后的想法，让学生觉得定理的成立是顺理成章的呢？于是我知道我对这个定理的理解还有模糊的地方。

第二个原因是 Jordan 块有一个重要的代数性质是通常教材中不讲的，而这个性质是代数学中一类重要而常见的性质的雏形，这就是不可分解性。与之对应的是可对角化的线性变换的完全可约性。从一开始就让学生接触这些现象是有好处的。