本文来自我在讨论班上的一个两小时左右的报告，目的是介绍中心单代数的三个基本结论：

1. 中心单代数对张量积运算是封闭的。
2. Noether-Skolem 定理。
3. 双重中心化子定理。

这部分内容比较经典，在很多教材上都有，但是采用的讲述方式却很不一样，找到一个完全符合自己口味的讲解不是件容易的事情。尤其是对初学者而言，有些名气很大的教材反而不见得适合。我当初念 Jacobson (1980) 就念的很抓狂。后来我查阅了不少教材后经过提炼整理得到了本文。我个人认为这是最直接清楚的证明方式。

Hurwitz 平方和定理是有限群表示论的一个精彩应用，本文是若干年前读书时的笔记。

Jordan 标准形定理是线性代数中的基本定理，专门为它写一篇长文好像有点多余：这方面的教材讲义实在是太多了！一个陈旧的定理还能写出什么新意来呢？

理由有两个。第一个原因是我曾经在做助教给学生讲这个定理的时候，突然发现不知道该怎么启发他们为好。虽然我知道 Jordan 标准形定理的很多种证法，照念几个不在话下，但是感觉有点疙疙瘩瘩的：怎么才能说清定理背后的想法，让学生觉得定理的成立是顺理成章的呢？于是我知道我对这个定理的理解还有模糊的地方。

第二个原因是 Jordan 块有一个重要的代数性质是通常教材中不讲的，而这个性质是代数学中一类重要而常见的性质的雏形，这就是不可分解性。与之对应的是可对角化的线性变换的完全可约性。从一开始就让学生接触这些现象是有好处的。

在数学里面经常可以提出这样一些问题：它们叙述起来很简单，答案看起来也很显然，但是要仔细证明却非常困难。即使是线性代数这样的「入门课」中也不缺少这样的问题：

下面的问题与统计物理中的 Dimer 格点模型有关：

下图是其中一种：

答案是 12988816，非常大的一个数字，显然不可能是逐个枚举数出来的。1961 年德国物理学家 Kasteleyn 借助线性代数的工具首先解决了这个问题，本文就来介绍他的方法。