Hurwitz 平方和定理是有限群表示论的一个精彩应用，本文是若干年前读书时的笔记。
Jordan 标准形定理是线性代数中的基本定理，专门为它写一篇长文好像有点多余：这方面的教材讲义实在是太多了！一个陈旧的定理还能写出什么新意来呢？
理由有两个。第一个原因是我曾经在做助教给学生讲这个定理的时候，突然发现不知道该怎么启发他们为好。虽然我知道 Jordan 标准形定理的很多种证法，照念几个不在话下，但是感觉有点疙疙瘩瘩的：怎么才能说清定理背后的想法，让学生觉得定理的成立是顺理成章的呢？于是我知道我对这个定理的理解还有模糊的地方。
第二个原因是 Jordan 块有一个重要的代数性质是通常教材中不讲的，而这个性质是代数学中一类重要而常见的性质的雏形，这就是不可分解性。与之对应的是可对角化的线性变换的完全可约性。从一开始就让学生接触这些现象是有好处的。
在数学里面经常可以提出这样一些问题：它们叙述起来很简单，答案看起来也很显然，但是要仔细证明却非常困难。即使是线性代数这样的「入门课」中也不缺少这样的问题：
问题： 记域 \(\mathbb{F}\) 上的全体 \(n\) 阶矩阵构成的向量空间为 \({\rm Mat}_n(\mathbb{F})\)，\(M\) 是 \({\rm Mat}_n(\mathbb{F})\) 的子空间。
- 如果 \(M\) 中所有矩阵关于矩阵乘法两两可以交换，那么 \(M\) 的维数最大是多少？
- 如果 \(M\) 中所有矩阵的秩都不超过 \(r\)，这里 \(0<r<n\)，那么 \(M\) 的维数最大是多少？
- 如果 \(M\) 中所有矩阵都是幂零的，那么 \(M\) 的维数最大是多少？
- 如果 \(M\) 中所有非零矩阵都是可逆矩阵，那么 \(M\) 的维数最大是多少？
下面的问题与统计物理中的 Dimer 格点模型有关：
问题： 用 \(1\times2\) 的多米诺骨牌密铺一张 \(8\times8\) 的国际象棋棋盘，有多少种不同的方法？
下图是其中一种：
答案是 12988816，非常大的一个数字，显然不可能是逐个枚举数出来的。1961 年德国物理学家 Kasteleyn 借助线性代数的工具首先解决了这个问题，本文就来介绍他的方法。
问题： 一个边长为 \(a\times b\times c\) 的平行六边形（\(a,b,c\) 都是正整数），每个内角都是 120 度。用边长为 1 的菱形密铺，有多少种不同的方法？
下图是一种密铺的示例：
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