我们先回顾一下 第一篇笔记 中介绍的主要内容。

设 \((W,S)\) 是一个 Coxeter 系。在 上文 中，我们按照如下方式，将 \((W,S)\) 表示为一个实向量空间 \(V\) 上的正交反射群：

1. 取一个 \(n=|S|\) 维实向量空间 \(V\)，\(V\) 的一组基为 \(\{\alpha_s\mid s\in S\}\)；
2. 规定了 \(V\) 上的内积 \((\cdot,\cdot)\)；
3. 对每个生成元 \(s\in S\)，规定 \(s\) 在 \(V\) 上的作用为关于 \(\alpha_s\) 的反射 \(\rho_s\)；
4. 我们证明了 \(\rho\) 是从 \(W\to\mathrm{GL}(V)\) 的群同态，并且 \(\rho(W)\) 保持内积 \((\cdot,\cdot)\)。

但是我们还有一个未完成的工作：证明 \(\rho\) 是嵌入映射。本文会完成它。此外我还会介绍关于根系的一些详尽知识。如果你直接翻到本文后面，会发现我罗列了很多条关于根系的推论。这并不是我在故作高深，这些推论每一条都是有用的。读者初次阅读时只要大致浏览它们即可，等后面用到时再跳转过来查看细节。如果你觉得它们太多记不住，想想我可是一个字一个字把它们敲下来的。😏

我写了一个 shadertoy 小动画，演示 (Needham 1997) 书中第 7 章 “Winding numbers and topology” 中的结论：