著名概率学家 Feller 在他的名著 “An introduction to probability and its applications” 中提到了这样一个实验：
问题： 重复抛掷一枚均匀的硬币，用 H
代表正面向上，T 代表背面向上，一直到连续出现 6 次
H 为止。这里连续 6 个 Ｈ 组成的模式记作
HHHHHH，所需要抛掷硬币的次数叫做等待时间。等待时间是一个随机变量，最小值是
6，最大值可以是无限。Feller 问：等待时间的均值是多少？
这个问题可以用 Markov 链来解，但是非常繁琐。香港中文大学李硕彦教授在他的论文 (Li 1980) 中用离散鞅的知识给出了一个简洁而巧妙的解法，本文就来介绍他的方法。
今天的问题源自中世纪威尔士人的故事集《Mabinogion》中的一段：
一个男孩来到了一个美丽的山谷，有一条小河在谷中流淌。他看到河一边的草地上有一群黑绵羊，另一边的草地上有一群白绵羊。羊群被施以一种魔法：每个时刻都恰有一只绵羊发出咩咩的叫声。如果发出叫声的是白绵羊，就会有一只黑绵羊趟过小河跑过来并且变成白绵羊；如果发出叫声的是黑绵羊，则会有一只白绵羊趟过小河跑过去并且变成黑绵羊。每个时刻发出叫声的绵羊是完全随机的，整个过程没有绵羊出生或者死亡，一直持续到所有绵羊都变成同一种颜色为止。
问题是这样的：
问题： 如果男孩可以选择在初始时刻 \(0\)，或者是每个魔法时刻 \(1,2,\ldots\) 结束后将任意数量的白绵羊赶出山谷，那么为了最终得到尽可能多的黑绵羊，他应该采取怎样的策略？
本文的问题出自 Williams 的教材 Probability with Martingales，虽然不算很难但是综合使用了许多知识，展示了抽象的鞅理论其实有着丰富多彩的应用。
问题： 一艘太空船正在宇宙中做星际航行时，飞船的控制系统出了故障，飞船不能正常地进行空间跳跃，而是只能预先设定一个距离，然后以此距离进行一次方向完全随机的跳跃。现在飞船想要返回太阳系。假设太阳系的半径是 \(r\)，发生故障时飞船与太阳的距离为 \(R>r\)。好消息是在每个时刻，飞船能够知道自身与太阳系的距离。
求证：不论采用怎样的跳跃策略，飞船返回太阳系的概率都小于 \(r/R\)；但是对任何 \(\epsilon>0\)，可以采取适当的策略，使得飞船返回太阳系的概率大于 \((r-\epsilon)/R\)，即 \(r/R\) 是最优概率。这个最优策略是什么？
本文来自我在讨论班上的一个两小时左右的报告，目的是介绍中心单代数的三个基本结论：
- 中心单代数对张量积运算是封闭的。
- Noether-Skolem 定理。
- 双重中心化子定理。
这部分内容比较古老，在很多教材上都有，但是采用的途径却很不一样，找一个完全符合自己口味的讲述不是件容易的事情。Jacobson (1980) 我念的就很抓狂。后来查阅了不少教材后经过提炼整理得到了本文，希望我的表述做到了清楚易懂。
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