问题： 平面上有三个质量均为 \(m\) 的质点 \(A,B,C\)，它们位于正三角形的三个顶点。质点之间两两由弹簧相连，三个弹簧完全一样。弹簧质量忽略不计。

初始时所有质点都处于静止状态，弹簧之间没有张力。假设给这三个质点分别施加一个初始速度，使这三个质点在平面内作刚体运动，不考虑任何摩擦力和空气阻力，那么这个系统的简正模式 (normal mode) 是什么？

问题： 重复抛掷一枚均匀的硬币，用 H 代表正面向上，T 代表背面向上，一直到连续出现 6 次 H 为止。这里连续 6 个 Ｈ 组成的模式记作 HHHHHH，所需要抛掷硬币的次数叫做等待时间。等待时间是一个随机变量，最小值是 6，最大值可以是无限。Feller 问：等待时间的期望是多少？

问题： 如果男孩可以选择在初始时刻 \(0\)，或者是每个魔法时刻 \(1,2,\ldots\) 结束后将任意数量的白绵羊赶出山谷，那么为了最终得到尽可能多的黑绵羊，他应该采取怎样的策略？

问题： 一艘太空船正在宇宙中做星际航行时，飞船的控制系统出了故障，飞船不能正常地进行空间跳跃，而是只能预先设定一个距离，然后以此距离进行一次方向完全随机的跳跃。现在飞船想要返回太阳系。假设太阳系的半径是 \(r\)，发生故障时飞船与太阳的距离为 \(R>r\)。好消息是在每个时刻，飞船能够知道自身与太阳系的距离。

求证：不论采用怎样的跳跃策略，飞船返回太阳系的概率都小于 \(r/R\)；但是对任何 \(\epsilon>0\)，可以采取适当的策略，使得飞船返回太阳系的概率大于 \((r-\epsilon)/R\)，即 \(r/R\) 是最优概率。这个最优策略是什么？

问题： \(n\) 位选民要在一次选举中给 \(m\) 个候选人投票，每个选民只能投一票。已知第 \(i\) 位候选人最终的得票数为 \(\lambda_i\)，这里 \(\sum_{i=1}^m\lambda_i=n\) 且 \(\lambda_1\geq\cdots\geq\lambda_m\)。问题是：有多少种不同的得票序列，使得在投票过程中的任一时刻，对任何的 \(i<j\)，第 \(i\) 位候选人所得的票数总不少于第 \(j\) 位候选人所得的票数？

举个例子，假设有 \(n=10\) 位选民和 \(m=4\) 个候选人，则得票序列 \[1, 2, 1, 3, 2, 1, 2, 4, 3, 1\] 表示第一个选民投票给 1 号，第二个选民投票给 2 号，第三个选民投票给 1 号，第四个选民投票给 3 号，依次类推。符合问题要求的序列必须满足对任何 \(1\leq k\leq n\) 和 \(1\leq i<j\leq m\)，序列的前 \(k\) 项中数字 \(i\) 出现的次数都大于等于数字 \(j\) 出现的次数。