我念研究生时的高等概率论课用的是 Durrett 的教材 “Probability: Theory and Examples”。这本书的好处我就不再介绍了，院长陈大岳老师在世图影印版的前言中已经夸了一遍。我个人的体会是，Durrett 的书在讲解证明的时候非常简练，很少写为什么要这样证，我有时候读了半天也没搞明白思路。Birkhoff 遍历定理算是其中一个，于是我重新整理了一下书中的证明，作此文留念。
Birkhoff 遍历定理最初由 Birkhoff 本人在 1931 年发表，原文长达 50 页。随后在 1939 年 K.Yosida （吉田耕作） 和 S.Kakutani （角谷） 利用极大遍历定理给出了一个 10 页的简洁证明，不过他们关于极大遍历定理的证明还是啰嗦了点，后来 Garsia 给出了极大遍历定理的一个仅有寥寥数行的惊人证明，这也是当前大多数教材采用的途径，本文就来介绍这一证明。
在数学中有许多「三分天下」的例子，比如：
- 常曲率空间只有 Euclidean、球面、双曲三种。
- 三类典型的偏微分方程：热方程 （抛物）、Laplace 方程 （椭圆）、波方程 （双曲）。
- 复平面上全纯等价下只有三种单连通区域：单位圆 \(\mathbb{D}\)、复平面 \(\mathbb{C}\)、扩充复平面 \(\overline{\mathbb{C}}\)。
- 不可约代数簇 （素理想） 在扩张下的三种行为：分解、惯性、分歧。
- 随机游动可以分为零常返、正常返、暂态。
- 实数域 \(\mathbb{R}\) 上的有限维结合可除代数只有三种：\(\mathbb{R}\)、复数域 \(\mathbb{C}\)、四元数 \(\mathbb{H}\)。
本文要介绍的是另外两个三分天下的例子，它们来自群表示论，即有限群的不可约实表示在复数域上的分解，和不可约复表示在实数域上的实现。这两个例子是紧密相关的。
问题： 假设你是一位大龄单身男士，年纪不小，但仍心怀浪漫。你准备参加 100 场相亲 （别介意具体数字）。你打算依次与每个女士 \(i\) 约会，然后根据印象给她打一个分数 \(X_i\)，\(X_i\) 的值介于 \([0,1]\) 之间。如果你对女士 \(i\) 很满意，那么就和她结婚，否则就放弃她，参加下一场相亲，当然拒绝了人家可就没有回头的机会了。如果你拒绝了前 99 位女士，那么不论第 100 次相亲结果如何你都只能和最后这位女士结婚。在相亲之前，你对这些女士的情况一无所知，所以姑且假定她们的分数 \(X_i\) 都是 \([0,1]\) 上均匀分布的独立的随机变量。问题是：应该采取怎样的相亲策略，才能娶到你最中意的女士？
今天的问题是群表示论在物理中的一个小应用：
问题： 平面上有三个质量均为 \(m\) 的质点 \(A,B,C\)，它们位于正三角形的三个顶点。质点之间两两由弹簧相连，三个弹簧完全一样。弹簧质量忽略不计。
初始时所有质点都处于静止状态，弹簧之间没有张力。假设给这三个质点分别施加一个初始速度，使这三个质点在平面内作刚体运动，不考虑任何摩擦力和空气阻力，那么这个系统的简正模式 (normal mode) 是什么？
这里 简正模式 的含义是所有质点按照一个共同的频率和固定的相位关系相对于各自的平衡位置作简谐振动。
著名概率学家 Feller 在他的名著 “An introduction to probability and its applications” 中提到了这样一个实验：
问题： 重复抛掷一枚均匀的硬币，用 H
代表正面向上，T 代表背面向上，一直到连续出现 6 次
H 为止。这里连续 6 个 Ｈ 组成的模式记作
HHHHHH，所需要抛掷硬币的次数叫做等待时间。等待时间是一个随机变量，最小值是
6，最大值可以是无限。Feller 问：等待时间的期望是多少？
这个问题可以用 Markov 链来解，但是非常繁琐。香港中文大学李硕彦教授在他的论文 (Li 1980) 中用离散鞅的知识给出了一个简洁而巧妙的解法，本文就来介绍他的方法。
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